Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật với \(AB = a\sqrt 2 \), \(AC = a\sqrt 3 \). Cạnh bên \(SA = 2a\) và vuông góc với mặt đáy \((ABCD)\). Khi đó:
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật với \(AB = a\sqrt 2 \), \(AC = a\sqrt 3 \). Cạnh bên \(SA = 2a\) và vuông góc với mặt đáy \((ABCD)\). Khi đó:
a) \(AD//(SBC)\)
b) Khoảng cách từ \(D\) đến mặt phẳng \((SBC)\) bằng: \(\frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)
c) Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SD,AB\) bằng: \(\frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\)
Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra Khoảng cách trong không gian (có lời giải) !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
|
a) Đúng |
b) Sai |
c) Đúng |
d) Sai |
a) Ta có: \(AD//BC \Rightarrow AD//(SBC) \Rightarrow d(D,(SBC)) = d(A,(SBC))\).
Trong mặt phẳng \((SAB)\), kẻ \(AH \bot SB\) tại \(H\). (1)
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC \bot AB}\\{BC \bot SA}\end{array} \Rightarrow BC \bot (SAB) \Rightarrow AH \bot BC} \right.\). (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(AH \bot (SBC)\) hay \(d(A,(SBC)) = AH\).
Tam giác \(SAB\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\) nên:
\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{SA \cdot AB}}{{\sqrt {S{A^2} + A{B^2}} }} = \frac{{2a \cdot a\sqrt 2 }}{{\sqrt {4{a^2} + 2{a^2}} }} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}{\rm{. }}\)
Vậy \(d(D,(SBC)) = d(A,(SBC)) = AH = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\).
b) Trong mặt phẳng \((SAD)\), kẻ \(AK \bot SD\) tại \(K\). (3)
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AB \bot SA}\\{AB \bot AD}\end{array} \Rightarrow AB \bot (SAD) \Rightarrow AB \bot AK} \right.\).(4)
Từ (3) và (4) suy ra \(AK\) là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau \(AB,SD\).
Tam giác \(ACD\) vuông tại \(D\) nên \(AD = \sqrt {A{C^2} - C{D^2}} = \sqrt {3{a^2} - 2{a^2}} = a\).
Tam giác \(SAD\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AK\) nên
\(\frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} \Rightarrow AK = \frac{{SA \cdot AD}}{{\sqrt {S{A^2} + A{D^2}} }} = \frac{{2a \cdot a}}{{\sqrt {4{a^2} + {a^2}} }} = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}{\rm{. }}\)
Vậy \(d(AB,SD) = AK = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\).
c) Diện tích đáy hình chóp là: \({S_{ABCD}} = a \cdot a\sqrt 2 = {a^2}\sqrt 2 \).
Thể tích khối chóp cần tìm là:
\({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SA \cdot {S_{ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot 2a \cdot {a^2}\sqrt 2 = \frac{{2\sqrt 2 {a^3}}}{3}{\rm{ }}\)(đơn vị thể tích).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Dành cho bạn Hot
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Gọi \(O\) là tâm của hình vuông \(ABCD\). Ta có \(AO \bot BD\) và \[AO \bot AA'\].
Suy ra \(AO\) là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng \[AA'\] và \(BD\).
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AA'\) và \(BD\) là \[AO = \frac{{AC}}{2} = 2.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \sqrt 2 .\]
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án:
Ta thấy ba chân của giá đỡ cùng với đoạn thẳng nối chân các giá đỡ (trên mặt đất) tạo thành một hình chóp tam giác đều. Chiều cao của giá đỡ chính là khoảng cách từ đỉnh của giá đến mặt đất.
Giả sử hình chóp tam giác đều là \(S.ABC\). Ta có \(SA = SB = SC = 129\,\,({\rm{cm}})\), \(AB = AC = BC = 110\,\,({\rm{cm}})\).
Có \(AM = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} = 55\sqrt 3 \,\,({\rm{cm}})\), \(AO = \frac{2}{3}AM = \frac{{110\sqrt 3 }}{3}\,\,({\rm{cm}})\).
\(SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}} = \sqrt {{{129}^2} - {{\left( {\frac{{110\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} \approx 112\,\,({\rm{cm}})\).
Vậy chiều cao của giá đỡ xấp xỉ 112 (cm)
Câu 3
a) \(BC \bot (SAB)\)
b) \(d(H,(SBC)) = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\)
c) Gọi \(K\) là trung điểm \(CD\) khi đó: \(CD \bot (SHK)\)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
![Cho hình lăng trụ đứng \[ABC.A'B'C'\] có đáy \[ABC\] là tam giác vuông cân tại \(B\), \(AB = a\). (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/02/blobid28-1771854375.png)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
![Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông tâm \(O\) cạnh là \[a\], \(SA\) vuông góc với đáy (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/02/blobid27-1771854315.png)
A. \(SO\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập