Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật với \(AB = 2a\), \(AD = a\). Hình chiếu của \(S\) lên mặt phẳng \((ABCD)\) là trung điểm \(H\) của \(AB\) và \(\widehat {SCH} = {45^^\circ }\). Khi đó:
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật với \(AB = 2a\), \(AD = a\). Hình chiếu của \(S\) lên mặt phẳng \((ABCD)\) là trung điểm \(H\) của \(AB\) và \(\widehat {SCH} = {45^^\circ }\). Khi đó:
a) \(BC \bot (SAB)\)
b) \(d(H,(SBC)) = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\)
c) Gọi \(K\) là trung điểm \(CD\) khi đó: \(CD \bot (SHK)\)
Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra Khoảng cách trong không gian (có lời giải) !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
|
a) Đúng |
b) Đúng |
c) Đúng |
d) Sai |
a) Kẻ đường cao \(HE\) trong tam giác \(SBH\). (1)
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC \bot AB}\\{BC \bot SH({\rm{ do }}SH \bot (ABCD))}\end{array} \Rightarrow BC \bot (SAB) \Rightarrow BC \bot HE} \right.\). (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(HE \bot (SBC)\) hay \(d(H,(SBC)) = HE\).
Tam giác \(BCH\) vuông tại \(B\) có:
\(\begin{array}{*{20}{l}}{CH}&{ = \sqrt {B{C^2} + B{H^2}} }\\{}&{ = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 .}\end{array}\)
Tam giác \(SCH\) vuông tại \(H\) có:
\(\tan \widehat {SCH} = \frac{{SH}}{{CH}} \Rightarrow SH = a\sqrt 2 {\rm{. }}\)
Tam giác \(SBH\) vuông tại \(H\) có đường cao \(HE\) nên
\(\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{1}{{H{E^2}}}}&{ = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{B{H^2}}}}\\{ \Rightarrow HE}&{ = \frac{{SH \cdot BH}}{{\sqrt {S{H^2} + B{H^2}} }}}\\{}&{ = \frac{{a\sqrt 2 \cdot a}}{{\sqrt {2{a^2} + {a^2}} }} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}.}\end{array}\)
Vậy \(d(H,(SBC)) = HE = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).
b) Gọi \(K\) là trung điểm \(CD\) thì \(HK\) là đường trung bình của hình chữ nhật \(ABCD\) nên \(HK//BC//AD \Rightarrow HK \bot CD\).
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{CD \bot HK}\\{CD \bot SH}\end{array} \Rightarrow CD \bot (SHK)} \right.\).
Kẻ đường cao \(HI\) của tam giác \(SHK\).
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{HI \bot SK}\\{HI \bot CD({\rm{ do }}CD \bot (SHK),HI \subset (SHK))}\end{array} \Rightarrow HI \bot (SCD)} \right.\).
Tam giác \(SHK\) vuông tại \(H\) có đường cao \(HI\) nên
\(\frac{1}{{H{I^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{H{K^2}}} \Rightarrow HI = \frac{{SH \cdot HK}}{{\sqrt {S{H^2} + H{K^2}} }} = \frac{{a\sqrt 2 \cdot a}}{{\sqrt {2{a^2} + {a^2}} }} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}.\)
Vậy \(d(H,(SCD)) = HI = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
Lời giải
Gọi \(O\) là tâm của hình vuông \(ABCD\). Ta có \(AO \bot BD\) và \[AO \bot AA'\].
Suy ra \(AO\) là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng \[AA'\] và \(BD\).
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AA'\) và \(BD\) là \[AO = \frac{{AC}}{2} = 2.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \sqrt 2 .\]
Lời giải
Đáp án:
Ta thấy ba chân của giá đỡ cùng với đoạn thẳng nối chân các giá đỡ (trên mặt đất) tạo thành một hình chóp tam giác đều. Chiều cao của giá đỡ chính là khoảng cách từ đỉnh của giá đến mặt đất.
Giả sử hình chóp tam giác đều là \(S.ABC\). Ta có \(SA = SB = SC = 129\,\,({\rm{cm}})\), \(AB = AC = BC = 110\,\,({\rm{cm}})\).
Có \(AM = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} = 55\sqrt 3 \,\,({\rm{cm}})\), \(AO = \frac{2}{3}AM = \frac{{110\sqrt 3 }}{3}\,\,({\rm{cm}})\).
\(SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}} = \sqrt {{{129}^2} - {{\left( {\frac{{110\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} \approx 112\,\,({\rm{cm}})\).
Vậy chiều cao của giá đỡ xấp xỉ 112 (cm)
Câu 3
![Cho hình lăng trụ đứng \[ABC.A'B'C'\] có đáy \[ABC\] là tam giác vuông cân tại \(B\), \(AB = a\). (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/02/blobid28-1771854375.png)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
![Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông tâm \(O\) cạnh là \[a\], \(SA\) vuông góc với đáy (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/02/blobid27-1771854315.png)
A. \(SO\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập