Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\) có \(AB = a,AD = b,A{A^\prime } = c\). Khi đó:

Kẻ đường cao \(AH\) trong tam giác \(AB{D^\prime }\), suy ra \(d\left( {A,B{D^\prime }} \right) = AH\).

Vì \(ABCD \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }\) là hình hộp chữ nhật nên \(AB \bot \left( {AD{D^\prime }{A^\prime }} \right)\),

suy ra \(AB \bot A{D^\prime }\) hay tam giác \(AB{D^\prime }\) vuông tại \(A\).

Tam giác \(AD{D^\prime }\) vuông tại \(D\) có: \(A{D^\prime } = \sqrt {A{D^2} + D{D^{\prime 2}}}  = \sqrt {{b^2} + {c^2}} \).

Tam giác \(AB{D^\prime }\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\) nên

\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{D^{\prime 2}}}} \Rightarrow AH = \frac{{AB \cdot A{D^\prime }}}{{\sqrt {A{B^2} + A{D^{\prime 2}}} }} = \frac{{a\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\)

Vậy \(d\left( {A,B{D^\prime }} \right) = \frac{{a\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\).

Vì \(ABCD \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\) là hình hộp chữ nhật nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AB//{C^\prime }{D^\prime }}\\{AB = {C^\prime }{D^\prime }}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow AB{C^\prime }{D^\prime }\) là hình bình hành.

Dễ thấy \(I,J\) lần lượt là trung điểm của \(A{D^\prime }\) và \(B{C^\prime }\) suy ra \(IJ\) là đường trung bình của hình bình hành \(AB{C^\prime }{D^\prime } \Rightarrow IJ//AB\), mà \(AB \bot A{D^\prime }\) nên \(IJ \bot A{D^\prime }\). (1)

Ta có: \(AB \bot \left( {BC{C^\prime }{B^\prime }} \right) \Rightarrow AB \bot {B^\prime }C \Rightarrow IJ \bot {B^\prime }C\). (2)

Mặt khác \(IJ\) cắt cả hai đường thẳng \(A{D^\prime },{B^\prime }C\). (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra \(IJ\) là đường vuông góc chung của hai đường thẳng \(A{D^\prime }\) và \({B^\prime }C\). Ta có \(IJ = AB = a\).