Kim tự tháp Kheops ở Ai Cập có dạng là hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy dài 262 mét, cạnh bên dài 230 mét. Khi xây dựng kim tự tháp người Ai Cập cổ đại đã tính toán xây dựng một đường hầm lấy sáng tự nhiên từ một mặt bên đến tâm hình vuông ở mặt đáy. Khoảng cách xây đường hầm đó gấn với giá trị nào nhất?

Thể tích của bể cá hình hộp chữ nhật có ba kích thước \(a = 0,6\;m;b = 2\;m\); \(c = 0,8\;m\) là: \(V = abc = 0,6 \cdot 2 \cdot 0,8 = 0,96\left( {\;{m^3}} \right)\).

Độ dài đường chéo bể kính hình hộp chữ nhật là:

\(d = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} = \sqrt {0,{6^2} + {2^2} + 0,{8^2}} = \sqrt 5 \approx 2,236(\;m).\)

a) Gọi \(H\) là trung điểm \(AB\), mà tam giác \(SAB\) đều nên \(SH \bot AB\).

Ngoài ra \((SAB) \bot (ABC)\) nên \(SH \bot (ABC)\).

Ta có: \(d(S,(ABC)) = SH = \frac{{2a \cdot \sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 (\)do tam giác \(SAB\) đều cạnh \(2a)\).

Kẻ đường cao \(CK\) của tam giác \(ABC\).

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{CK \bot AB}\\{CK \bot SH}\end{array} \Rightarrow CK \bot (SAB) \Rightarrow d(C,(SAB)) = CK} \right.\).

Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(C\) có:

\(BC = \sqrt {A{B^2} - A{C^2}}  = \sqrt {4{a^2} - 3{a^2}}  = a;CK = \frac{{CA \cdot CB}}{{AB}} = \frac{{a\sqrt 3  \cdot a}}{{2a}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Vậy \(d(C,(SAB)) = CK = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Diện tích đáy hình chóp là: \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AC \cdot BC = \frac{1}{2}a\sqrt 3  \cdot a = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\).

Thể tích khối chóp là: \({V_{S \cdot ABC}} = \frac{1}{3}SH \cdot {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{3} \cdot a\sqrt 3  \cdot \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^3}}}{2}\).