Cho hình chóp đều \(S.ABC\) có cạnh đáy bằng \(a\), gọi \(O\) là tâm của đáy và \(SO = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\). Khi đó:
Cho hình chóp đều \(S.ABC\) có cạnh đáy bằng \(a\), gọi \(O\) là tâm của đáy và \(SO = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\). Khi đó:
a) \(AO = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Đúng
Sai
b) \(d(O,SA) = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}{\rm{. }}\)
Đúng
Sai
c) Kẻ đường cao \(AI\) của tam giác \(ABC\), khi đó: \(OI = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\)
Đúng
Sai
d) \(d(O,(SBC)) = \frac{{a\sqrt {15} }}{{12}}\)
Đúng
Sai
Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra Khoảng cách trong không gian (có lời giải) !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
|
a) Sai |
b) Đúng |
c) Đúng |
d) Sai |
Kẻ đường cao \(AI\) của tam giác \(ABC\), ta có \(O\) thuộc \(AI\).
Trong mặt phẳng \((SAI)\), dựng \(OH \bot SA\) tại \(H \Rightarrow d(O,SA) = OH\).
Tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a\) nên \(AO = \frac{2}{3}AI = \frac{2}{3} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3} = SO\).
Tam giác \(SAO\) vuông cân tại \(O\) nên \(OH = \frac{{SA}}{2} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{3} \cdot \sqrt 2 }}{2} = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}\).
Vậy \(d(O,SA) = OH = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}{\rm{. }}\)
Ta xét khoảng cách từ \(O\) đến mặt bên \((SBC)\).
Kẻ đường cao \(OK\) của tam giác \(SOI\). (1)
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC \bot SO({\rm{ do }}SO \bot (ABC))}\\{BC \bot AI}\end{array} \Rightarrow BC \bot (SAI) \Rightarrow BC \bot OK} \right.\).(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(OK \bot (SBC)\) hay \(OK = d(O,(SBC))\).
Ta có: \(OI = \frac{{AI}}{3} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{3} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\).
Tam giác \(SOI\) vuông tại \(O\) có đường cao \(OK\) nên
\(\frac{1}{{O{K^2}}} = \frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{1}{{O{I^2}}} \Rightarrow OK = \frac{{SO \cdot OI}}{{\sqrt {S{O^2} + O{I^2}} }} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{3} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{6}}}{{\sqrt {\frac{{3{a^2}}}{9} + \frac{{3{a^2}}}{{36}}} }} = \frac{{a\sqrt {15} }}{{15}}\)
Vậy \(d(O,(SBC)) = OK = \frac{{a\sqrt {15} }}{{15}}\).
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Các sản phẩm khác của Vietjack:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A. \[110\left( {{\rm{cm}}} \right)\].
B. \[90\left( {{\rm{cm}}} \right)\].
C. \(45\sqrt 3 \left( {{\rm{\;cm}}} \right)\).
D. \[96,95\left( {{\rm{cm}}} \right)\]
Lời giải
Giả sử 3 chân của giá đỡ là \[B,C,D\].
Giá đỡ ba chân như hình vẽ đang được mở sao cho ba gốc chân cách đều nhau một khoảng cách bằng \(90{\rm{\;cm}}\) nên hình chiếu của đỉnh là tâm của đáy mà đáy là tam giác đều do đó tâm là trọng tâm.
Vì đáy là tam giác đều cạnh \(90{\rm{\;cm}}\) nên chiều cao của đáy bằng \(BM = 90.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 45\sqrt 3 \left( {{\rm{\;cm}}} \right)\)
Khoảng cách từ gốc chân đến tâm của đáy là \(OB = \frac{2}{3} \cdot 45\sqrt 3 = 30\sqrt 3 \left( {{\rm{cm}}} \right)\)
Chiều cao giá đỡ là \[OA = \sqrt {{{110}^2} - {{\left( {30\sqrt 3 } \right)}^2}} = 10\sqrt {94} \left( {cm} \right) \approx 96,95\left( {{\rm{cm}}} \right)\]
Câu 2
A. \(89m\).
B. \(95m\).
C. \(94m\).
D. \(93m\).
Lời giải
Ta giả sử các cạnh và đỉnh của kim tự tháp như hình vẽ. Vì \(S.ABCD\)hình chóp tứ giác đều nên \(SH\) vuông góc với mặt phẳng \(S.ABCD\) (\(H = AC \cap BD\)).
Xét \(ABC\) vuông tại \(A\), ta có: \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{{262}^2} + {{262}^2}} = 262\sqrt 2 \) (m)
\( \Rightarrow HC = \frac{{AC}}{2} = 131\sqrt 2 \) (m)
Xét \(SHC\) vuông tại \(H\), ta có: \(SH = \sqrt {S{C^2} - H{C^2}} = \sqrt {{{230}^2} - {{(131\sqrt 2 )}^2}} = \sqrt {18578} \approx 136\)(m). Vậy chiều cao của kim tự tháp là khoảng 136 mét.
Kẻ \(HJ\) vuông góc với \(SI\), suy ra \(HI\) là đoạn đường ngắn nhất.
Trong tam giác \(SHI\) vuông tại H, ta có: \(\frac{1}{{H{J^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{S{I^2}}} = \frac{1}{{18578}} + \frac{1}{{17161}} = \frac{{35739}}{{18578.17161}}\)
\( \Rightarrow H{J^2} = \frac{{18578.17161}}{{35739}} \Rightarrow HJ \approx 94\)(m)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
a) \(SH \bot (ABC)\)
Đúng
Sai
b) \(d(S,(ABC)) = a\sqrt 3 \)
Đúng
Sai
c) \(d(C,(SAB)) = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)
Đúng
Sai
d) Thể tích của khối chóp \(S.ABC\) bằng \(\frac{{{a^3}}}{6}\)
Đúng
Sai
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập