Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }\) có cạnh đáy bằng \(2a\), khoảng cách từ điểm \({A^\prime }\) đến mặt phẳng \(\left( {A{B^\prime }{C^\prime }} \right)\) bằng \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\). Khi đó:

Trong mặt phẳng \(\left( {{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }} \right)\), kẻ \({A^\prime }H \bot {B^\prime }{C^\prime }\) tại \(H\).

Trong mặt phẳng \(\left( {A{A^\prime }H} \right)\) , kẻ \({A^\prime }K \bot AH\) tại \(K\). (1)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}B'C' \bot A'H\\B'C' \bot AA'({\rm{do}}\,AA' \bot (A'B'C'))\end{array} \right. \Rightarrow B'C' \bot (AA'H) \Rightarrow A'K \bot B'C'(2)\)

Từ (1) và (2) suy ra \({A^\prime }K \bot \left( {A{B^\prime }{C^\prime }} \right)\) hay \(d\left( {{A^\prime },\left( {A{B^\prime }{C^\prime }} \right)} \right) = {A^\prime }K = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Tam giác \({A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }\) đều có đường cao \({A^\prime }H = \frac{{2a \cdot \sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \).

Tam giác \(A{A^\prime }H\) vuông tại \({A^\prime }\) có đường cao \({A^\prime }K\) nên

\(\frac{1}{{{A^\prime }{K^2}}} = \frac{1}{{{A^\prime }{H^2}}} + \frac{1}{{{A^\prime }{A^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{\frac{{3{a^2}}}{4}}} = \frac{1}{{3{a^2}}} + \frac{1}{{{A^\prime }{A^2}}} \Rightarrow {A^\prime }A = a{\rm{. }}\)

Hai mặt đáy lăng trụ song song với nhau và có khoảng cách là: \(d\left( {(ABC),\left( {{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }} \right)} \right) = A{A^\prime } = a{\rm{. }}\)

Diện tích đáy của lăng trụ (đáy là tam giác đều) là: \({S_{\Delta {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }}} = \frac{{{{(2a)}^2}\sqrt 3 }}{4} = {a^2}\sqrt 3 \)

Thể tích khối lăng trụ là: \(V = A{A^\prime } \cdot {S_{\Delta {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }}} = a \cdot {a^2}\sqrt 3  = {a^3}\sqrt 3 \) (đơn vị thể tích).