Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] \(\left( {AB < AC} \right)\). Vẽ \[AH \bot BC\] \(\left( {H \in BC} \right).\) Lấy điểm \[D\] thuộc tia đối của tia \[HA\] sao cho \[HD = HA\].

a) Chứng minh rằng \[\Delta BAH{\rm{  =  }}\Delta BDH\]và tia \[BC\] là tia phân giác của \(\widehat {ABD}\).

b) Qua \[D\] vẽ đường thẳng song song với \[AB\], cắt \(BC\) tại \(M\). Chứng minh rằng \[AD\] là đường trung trực của đoạn thẳng \[BM\].

c) Vẽ đường thẳng \[CN\] vuông góc với đường thẳng \[AM\] \[\left( {N \in AM} \right)\]. Chứng minh ba điểm \[C,{\rm{ }}N,{\rm{ }}D\] thẳng hàng.

Gọi số người đi trồng cây của mỗi đội A; B; C lần lượt là: \(x;y;z\) (người), \(\left( {x;y;z \in {\mathbb{N}^*}} \right)\).

Vì có tất cả \(130\) người đi trồng cây nên \(x + y + z = 130\)

Vì số cây mỗi đội trồng được là bằng nhau và số cây mỗi người đội A; B; C trồng được theo thứ tự là \(2;3;4\) nên số cây mỗi người trồng được sẽ tỉ lệ nghịch với số người trong đội.

Ta có: \(x.2 = y.3 = z.4\)\( \Rightarrow \frac{{2x}}{{12}} = \frac{{3y}}{{12}} = \frac{{4z}}{{12}}\) hay \(\frac{x}{6} = \frac{y}{4} = \frac{z}{3}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:

\(\frac{x}{6} = \frac{y}{4} = \frac{z}{3} = \frac{{x + y + z}}{{6 + 4 + 3}} = \frac{{130}}{{13}} = 10\)

Khi đó, \(\frac{x}{6} = 10\) nên \(x = 10.6 = 60\)

\(\frac{y}{4} = 10\) nên \(y = 10.4 = 40\)

\(\frac{z}{3} = 10\) nên \(z = 10.3 = 30\)

Số người đi trồng cây của ba đội A, B, C lần lượt là \(60\,;40\,;30\) người.

Trường hợp 1: \(a,\,\,b,\,\,c \ne 0\) và \(a + b + c = 0\) hay \(a + b =  - c;\,\,a + c =  - b;\,\,b + c =  - a\) thay vào biểu thức \(S\), ta được:

\(S = \frac{{\left( { - c} \right)\left( { - a} \right)\left( { - b} \right)}}{{abc}} = \frac{{ - abc}}{{abc}} =  - 1\).

Trường hợp 2: \(a,\,\,b,\,\,c \ne 0\) và \(a + b + c \ne 0\).

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{{a + b - c}}{c} = \frac{{c + a - b}}{b} = \frac{{b + c - a}}{a} = \frac{{a + b - c + c + a - b + b + c - a}}{{c + b + a}}\)

\( = \frac{{a + b + c}}{{c + b + a}} = 1\).

Suy ra \(a + b - c = c;\,\,c + a - b = b;\,\,b + c - a = a\).

Do đó \(a + b = 2c;\,\,c + a = 2b;\,\,b + c = 2a\).

Thay \(a + b = 2c;\,\,c + a = 2b;\,\,b + c = 2a\) vào biểu thức \(S\), ta có:

\(S = \frac{{2a\,\,.\,\,2b\,\,.\,\,2c}}{{abc}} = 8\).

Vậy \(S =  - 1\) khi \(\frac{{a + b - c}}{c} = \frac{{c + a - b}}{b} = \frac{{b + c - a}}{a}\) và \(a,\,\,b,\,\,c \ne 0\) và \(a + b + c = 0\);

\(S = 8\) khi \(\frac{{a + b - c}}{c} = \frac{{c + a - b}}{b} = \frac{{b + c - a}}{a}\) và \(a,\,\,b,\,\,c \ne 0\) và \(a + b + c \ne 0\).