Cho hình lăng trụ đứng \(ABC \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }\) có đáy là tam giác vuông tại \(A\) với \(AB = 1,AC = 2\). Biết rằng góc phẳng nhị diện \(\left[ {C,AB,{C^\prime }} \right]\) bằng ${60}^{°}$. Khi đó:

Vì \(ABC \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }\) là lăng trụ đứng nên \(A{A^\prime } \bot (ABC) \Rightarrow A{A^\prime } \bot AB\), mà \(AC \bot AB\) (1).

Suy ra \(AB \bot \left( {AC{C^\prime }{A^\prime }} \right) \Rightarrow A{C^\prime } \bot AB\). (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {{C^\prime }AC}\) là góc phẳng nhị diện \(\left[ {C,AB,{C^\prime }} \right]\) và $\widehat{C^{\text{'}}AC}={60}^{°}$

Tam giác \(AC{C^\prime }\) vuông tại \(C\) có: \(\tan \widehat {{C^\prime }AC} = \frac{{C{C^\prime }}}{{AC}} \Rightarrow C{C^\prime } = 2\sqrt 3 \).

Thể tích khối lăng trụ đã cho là: \({V_{ABC \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }}} = {A^\prime }A \cdot {S_{\Delta ABC}} = 2\sqrt 3  \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 = 2\sqrt 3 {\rm{  }}\)(đơn vị thể tích).

Dễ thấy \(C{C^\prime } \bot (ABC)\) và \(C{C^\prime } = \left( {AC{C^\prime }} \right) \cap \left( {{B^\prime }C{C^\prime }} \right)\) nên \(\widehat {ACB}\) là góc phẳng nhị diện \(\left[ {A,C{C^\prime },{B^\prime }} \right]\).

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có: $\tan \widehat{ACB}=\frac{AB}{AC}=\frac{1}{2}\Rightarrow \widehat{ACB}\approx 26,{57}^{°}$