Hai chất điểm A và B chuyển động thẳng đều cùng hướng về \(O\) (như hình vẽ) biết rằng vận tốc \({V_B} = \frac{{{V_A}}}{{\sqrt 3 }}\) và \(\widehat {AOB} = 30^\circ \). Biết rằng khi khoảng cách giữa hai chất điểm A và B là nhỏ nhất thì A cách O một khoảng bằng \(30\sqrt 3 \left( {\rm{m}} \right)\). Tìm khoảng cách từ \(B\) đến \(O\) lúc đó.
Hai chất điểm A và B chuyển động thẳng đều cùng hướng về \(O\) (như hình vẽ) biết rằng vận tốc \({V_B} = \frac{{{V_A}}}{{\sqrt 3 }}\) và \(\widehat {AOB} = 30^\circ \). Biết rằng khi khoảng cách giữa hai chất điểm A và B là nhỏ nhất thì A cách O một khoảng bằng \(30\sqrt 3 \left( {\rm{m}} \right)\). Tìm khoảng cách từ \(B\) đến \(O\) lúc đó.
A. \(30\sqrt 2 \,\,{\rm{m}}\).
B. \(30\sqrt 3 \,\,{\rm{m}}\).
C. \(90\,\,{\rm{m}}\).
D. \(15\sqrt 3 \,\,{\rm{m}}\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
Gọi \({d_1},{d_2}\) lần lượt là khoảng cách các vật A và B đến O lúc đầu (\(t = 0\)).
Đồng thời \[d = AB\]. Gọi \(t'\) là thời điểm mà \({d_{\min }}\). Khi đó A ở \(A'\) và B ở \(B'\) như hình vẽ.
Kí hiệu góc \(\widehat {B'A'O} = \beta ,\widehat {A'B'O} = \gamma \).
Áp dụng định lý sin trong tam giác \(\Delta A'B'O\) ta có:
\(\frac{d}{{\sin 30^\circ }} = \frac{{OA'}}{{\sin \gamma }} = \frac{{OB'}}{{\sin \beta }} \Leftrightarrow 2d = \frac{{{d_1} - AA'}}{{\sin \gamma }} = \frac{{{d_2} - BB'}}{{\sin \beta }} \Leftrightarrow 2d = \frac{{{d_1} - {V_A}t}}{{\sin \gamma }} = \frac{{{d_2} - {V_B}t}}{{\sin \beta }}\,\,\left( * \right)\).
Do \({V_B} = \frac{{{V_A}}}{{\sqrt 3 }}\) và áp dụng tính chất \(\frac{A}{B} = \frac{C}{D} = \frac{{C - A}}{{D - B}}\), ta có:
\(\left( * \right) \Leftrightarrow 2d = \frac{{\sqrt 3 {d_2} - {d_1}}}{{\sqrt 3 \sin \beta - \sin \gamma }}\) mà \(\sin \beta = \sin \left( {180^\circ - \beta } \right) = \sin \left( {30^\circ + \gamma } \right)\).
Do đó ta có \(d = \frac{{\sqrt 3 {d_2} - {d_1}}}{{2\left[ {\sqrt 3 \sin \left( {30^\circ + \gamma } \right) - \sin \gamma } \right]}} = \frac{{\sqrt 3 {d_2} - {d_1}}}{{\sqrt 3 \cos \gamma + \sin \gamma }}\).
Xét \(f\left( \gamma \right) = \sqrt 3 \cos \gamma + \sin \gamma \). Ta có \({d_{\min }} \Leftrightarrow f{\left( \gamma \right)_{\max }}\).
Cách 1. Khảo sát hàm \(f\left( \gamma \right)\).
Cách 2. Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta có:
\(\left| {\sqrt 3 \cos \gamma + \sin \gamma } \right| \le \sqrt {3 + 1} \sqrt {{{\cos }^2}\gamma + {{\sin }^2}\gamma } = 2 \Rightarrow - 2 \le f\left( \gamma \right) \le 2 \Rightarrow \max f\left( \gamma \right) = 2\)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \frac{{\sin \gamma }}{{\cos \gamma }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow \tan \gamma = \tan {\rm{30}}^\circ \Leftrightarrow \gamma = 30^\circ \) và khi đó \[\beta = 120^\circ \].
Khi đó ta có \(\frac{d}{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}\,{\rm{30}}^\circ }} = \frac{{{{d'}_1}}}{{\sin \,30^\circ }} = \frac{{{{d'}_2}}}{{\sin \,120^\circ }} \Rightarrow {d'_2} = \frac{{\sin \,120^\circ }}{{\sin \,30^\circ }}{d'_1} = \sqrt 3 {d'_1} = 90\,\,\left( {\rm{m}} \right)\). Chọn C.
Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 140.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A. \(13x + 18y + 15z + 134 = 0\) hoặc \(5x + 10y + 9z - 7 = 0\).
B. \(13x + 18y + 15z = 0\) hoặc \(5x + 10y + 9z - 4 = 0\).
C. \(5x + 10y + 9z - 74 = 0\) hoặc \(13x + 18y + 17z - 146 = 0\).
D. \(13x + 18y + 15z - 13 = 0\) hoặc \(5x + 10y + 9z + 4 = 0\).
Lời giải
Lời giải
Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) cách đều hai điểm \(A;B\) khi và chỉ khi \(AB\,{\rm{//}}\,\left( \alpha \right)\) hoặc \(\left( \alpha \right)\) đi qua trung điểm \(I\) của \(AB\).
Trường hợp 1: \(AB\,{\rm{//}}\,\left( \alpha \right)\) ta có \(\overrightarrow {CD} = \left( {1\,;\,4\,;\, - 5} \right)\), \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2\,;\,1\,;\,0} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) qua điểm \(C\left( {2\,;\,1\,;\,6} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến là \(\vec n = \left[ {\overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {AB} \,} \right] = \left( {5\,;\,10\,;\,9} \right)\).
Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là: \(5\left( {x - 2} \right) + 10\left( {y - 1} \right) + 9\left( {z - 6} \right) = 0\) hay \(5x + 10y + 9z - 74 = 0\).
Trường hợp 2: \(\left( \alpha \right)\) qua trung điểm \(I\left( {5\,;\,\frac{9}{2}\,;\,0} \right)\) của \(AB\) có \(\overrightarrow {CD} = \left( {1\,;\,4\,;\, - 5} \right)\), \(\overrightarrow {CI} = \left( {3\,;\,\frac{7}{2}\,;\, - 6} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) qua điểm \(C\left( {2\,;\,1\,;\,6} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến là
\(\vec n = \left[ {\overrightarrow {CD} \,,\,\overrightarrow {CI} } \right] = \left( { - \frac{{13}}{2}\,;\, - 9\,;\, - \frac{{17}}{2}} \right) = - \frac{1}{2}\left( {13;18;17} \right)\).
Chọn một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] là \[{\overrightarrow n _{\left( \alpha \right)}} = \left( {13;\,18;\,17} \right)\].
Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là: \(13\left( {x - 2} \right) + 18\left( {y - 1} \right) + 17\left( {z - 6} \right) = 0\) hay \(13x + 18y + 17z - 146 = 0\).
Chọn C.
Câu 2
A. 55 m.
B. 16 m.
C. 50 m.
D. 25 m.
Lời giải
Lời giải
Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng 0.
Nên thời gian kể từ lúc đạp phanh đến lúc ô tô dừng hẳn là \( - 2t + 10 = 0 \Leftrightarrow t = 5\) (s).
Quãng đường ô tô đi được từ lúc đạp phanh đến lúc ô tô dừng hẳn là: \({S_2} = \int\limits_0^5 {\left( { - 2t + 10} \right){\rm{d}}t} = 25\) (m).
Như vậy trong 8 giây cuối thì có 3 giây ô tô đi với vận tốc 10 m/s và 5 s ô tô chuyển động chậm dần đều.
Quãng đường ô tô đi được trong 3 giây trước khi đạp phanh là \({S_1} = 3 \cdot 10 = 30\) (m).
Vậy trong 8 giây cuối ô tô đi được quãng đường \(S = {S_1} + {S_2} = 30 + 25 = 55\) (m). Chọn A.
Câu 3
A. \(15\) ngày.
B. \(20\) ngày.
C. \(25\) ngày.
D. \(35\) ngày.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A. \[\frac{{a\sqrt 2 }}{3}\].
B. \[\frac{{a\sqrt 6 }}{3}\].
C. \[a\].
D. \[\frac{{a\sqrt 6 }}{2}\].
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A. \[\sqrt {41} \] m.
B. \(1\) m.
C. \(\sqrt 3 \) m.
D. \[5\sqrt {41} \] m.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
A. \(45^\circ \).
B. \(60^\circ \).
C. \(30^\circ \).
. \(90^\circ \).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập