Năm 2025 là một năm đặc biệt đối với người yêu toán học, vì \(2025\) là một số chính phương (tạm gọi là “năm chính phương”), và đây cũng là năm chính phương duy nhất của thế kỷ 21; muốn có được năm chính phương tiếp theo, ta phải chờ thêm 91 năm nữa, tức là năm 2116. Để chào đón năm chính phương đặc biệt này, một thầy giáo dạy toán đã gọi hai em học sinh lên bảng và cho mỗi em viết ngẫu nhiên một số chính phương mà em biết từ 1 đến 2025. Xác suất để hai em viết ra hai số chính phương giống nhau và đều là số chia hết cho cả 3 và 5 bằng \(\frac{m}{n}\) với \(m\,,\,\,n \in \mathbb{N}\) và \(\frac{m}{n}\) tối giản (biết cả hai em học sinh đều viết đúng số chính phương của mình và khả năng xuất hiện mỗi số chính phương là như nhau). Tính \(2m + n\).

Lời giải

Số hạt lạc mà Tấm đã ăn là \(1 + 4 + 7 + 10 + ...\)

Số hạt lạc mà Tấm đã ăn từng lượt theo quy luật cấp số cộng với \({u_1} = 1\,,\,\,d = 3\).

Sau n lượt, tổng số hạt lạc mà Tấm đã ăn là \({S_n} = \frac{{n\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]}}{2} = \frac{{n\left[ {2 + \left( {n - 1} \right) \cdot 3} \right]}}{2} = \frac{{n\left( {3n - 1} \right)}}{2}\).

Xét \({S_n} = 317 \Rightarrow \frac{{n\left( {3n - 1} \right)}}{2} = 317 \Rightarrow 3{n^2} - n - 634 = 0 \Rightarrow n \approx 14,7\) (không thỏa mãn).

Do đó Tấm là người ăn lạc cuối cùng. Sau 14 lượt cô ăn được \({S_{14}} = \frac{{14\left( {3 \cdot 14 - 1} \right)}}{2} = 287\); lượt cuối cô ăn thêm \(317 - 287 = 30\) (hạt).

Số hạt lạc mà Cám đã ăn là tổng cấp số cộng có số hạng đầu bằng 2, công sai bằng 3.

Số hạt lạc mà dì ghẻ đã ăn là tổng cấp số cộng có số hạng đầu bằng 3, công sai bằng 3.

Tổng số hạt lạc mà cả ba mẹ con đã ăn được là \(317 + \frac{{14\left( {2 \cdot 2 + 13 \cdot 3} \right)}}{2} + \frac{{14\left( {2 \cdot 3 + 13 \cdot 3} \right)}}{2} = 933\). Chọn B.

Lời giải

Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) cách đều hai điểm \(A;B\) khi và chỉ khi \(AB\,{\rm{//}}\,\left( \alpha  \right)\) hoặc \(\left( \alpha  \right)\) đi qua trung điểm \(I\) của \(AB\).

Trường hợp 1: \(AB\,{\rm{//}}\,\left( \alpha  \right)\) ta có \(\overrightarrow {CD}  = \left( {1\,;\,4\,;\, - 5} \right)\), \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2\,;\,1\,;\,0} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) qua điểm \(C\left( {2\,;\,1\,;\,6} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến là \(\vec n = \left[ {\overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {AB} \,} \right] = \left( {5\,;\,10\,;\,9} \right)\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) là: \(5\left( {x - 2} \right) + 10\left( {y - 1} \right) + 9\left( {z - 6} \right) = 0\) hay \(5x + 10y + 9z - 74 = 0\).

Trường hợp 2: \(\left( \alpha  \right)\) qua trung điểm \(I\left( {5\,;\,\frac{9}{2}\,;\,0} \right)\) của \(AB\) có \(\overrightarrow {CD}  = \left( {1\,;\,4\,;\, - 5} \right)\), \(\overrightarrow {CI}  = \left( {3\,;\,\frac{7}{2}\,;\, - 6} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) qua điểm \(C\left( {2\,;\,1\,;\,6} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến là

\(\vec n = \left[ {\overrightarrow {CD} \,,\,\overrightarrow {CI} } \right] = \left( { - \frac{{13}}{2}\,;\, - 9\,;\, - \frac{{17}}{2}} \right) =  - \frac{1}{2}\left( {13;18;17} \right)\).

Chọn một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \[\left( \alpha  \right)\] là \[{\overrightarrow n _{\left( \alpha  \right)}} = \left( {13;\,18;\,17} \right)\].

Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) là: \(13\left( {x - 2} \right) + 18\left( {y - 1} \right) + 17\left( {z - 6} \right) = 0\) hay \(13x + 18y + 17z - 146 = 0\).

Chọn C.