Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {1;2;1} \right)\) và \(B\left( {3; - 1;5} \right)\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) vuông góc với đường thẳng \(AB\) và cắt các trục \(Ox\), \(Oy\) và \(Oz\) lần lượt tại các điểm \(D\), \(E\) và \(F\). Biết thể tích của tứ diện \(ODEF\) bằng \(\frac{3}{2}\), phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là

Lời giải

Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) có một vectơ pháp tuyến \({\overrightarrow n _{\left( Q \right)}} = \left( {1\,;\,1\,;\,2} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua hai điểm \(A\left( {2\,;\, - 1\,;\,0} \right)\), \(B\left( {1\,;\,1\,;\,2} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( Q \right)\) nên có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1\,;\,2\,;\,2} \right)\) và \({\overrightarrow n _{\left( Q \right)}} = \left( {1\,;\,1\,;\,2} \right)\).

Do đó \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến là: \({\overrightarrow n _{\left( P \right)}} = \left[ {\overrightarrow {AB} \,,\,{{\overrightarrow n }_{\left( Q \right)}}} \right] = \left( {2\,;\,4\,;\, - 3} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(A\left( {2\,;\, - 1\,;\,0} \right)\) và nhận \({\overrightarrow n _{\left( P \right)}} = \left( {2\,;\,4\,;\, - 3} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến nên có phương trình: \(2\left( {x - 2} \right) + 4\left( {y + 1} \right) - 3\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 4y - 3z = 0\). Chọn B.

Lời giải

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {m - 1; - \frac{{3m}}{2};1 - 3m} \right)\).

Ta có \(R = \sqrt {{{\left( {m - 1} \right)}^2} + {{\left( { - \frac{{3m}}{2}} \right)}^2} + {{\left( {1 - 3m} \right)}^2} + 7}  = \sqrt {\frac{{49{m^2}}}{4} - 8m + 9}  = \sqrt {{{\left( {\frac{7}{2}m - \frac{8}{7}} \right)}^2} + \frac{{377}}{{49}}}  \ge \frac{{\sqrt {377} }}{7}\).

Vậy \[{R_{\min }} = \frac{{\sqrt {377} }}{7} \Leftrightarrow m = \frac{{16}}{{49}}\]. Chọn B.