Cho các số \(a,\,\,b,\,\,c\) khác nhau đôi một và \[\frac{{a + b}}{c} = \frac{{b + c}}{a} = \frac{{c + a}}{b}.\] Tính giá trị biểu thức:

\(M = \left( {1 + \frac{a}{b}} \right)\left( {1 + \frac{b}{c}} \right)\left( {1 + \frac{c}{a}} \right).\)

Hướng dẫn giải

1. Nửa chu vi đáy của hình chóp tứ giác đều là: \(\frac{{12 \cdot 4}}{2} = 24\,\,{\rm{(cm)}}\).

Diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều là: \(24 \cdot 10 = 240\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).

2.

a) Xét \[{\rm{\Delta }}MNI\] và \[{\rm{\Delta }}MPK\] có:

\(\widehat {MIN} = \widehat {MKP}\,\;\left( { = 90^\circ } \right)\)

\[\widehat {NMI} = \widehat {PMK}\,\;\left( {\widehat M\;{\rm{chung}}} \right)\]

Do đó $\text{Δ}MNI\backsim \text{Δ}MPK\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(g.g)}$  .

Suy ra \(\frac{{NI}}{{PK}} = \frac{{MN}}{{MP}} = \frac{{MI}}{{MK}}\).

b) Xét \[{\rm{\Delta }}NHK\] và \[{\rm{\Delta }}PHI\] có:

\(\widehat {NKH} = \widehat {PIH}\;\left( { = 90^\circ } \right)\)

\(\widehat {NHK} = \widehat {PHI}\)

Do đó $\text{Δ}NHK\backsim \text{Δ}PHI\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(g.g)}$

Suy ra \(\frac{{NH}}{{HP}} = \frac{{HK}}{{HI}}\) hay \(HN \cdot HI = HK \cdot HP\) (đpcm)

c) Ta có:

\[NI \cdot NH + PK \cdot PH = NH \cdot \left( {NH + HI} \right) + PK \cdot PH\]

\[ = N{H^2} + NH \cdot HI + PK \cdot PH\]

\[ = N{H^2} + HK \cdot HP + PK \cdot PH\]

\[ = N{K^2} + H{K^2} + HK \cdot HP + HP \cdot \left( {HK + HP} \right)\]

\[ = N{K^2} + H{K^2} + HK \cdot HP + HP \cdot HK + H{P^2}\]

\[ = N{K^2} + \left( {H{K^2} + 2HK \cdot HP + H{P^2}} \right)\]

\[ = N{K^2} + {\left( {HK + HP} \right)^2}\]\[ = N{K^2} + P{K^2} = N{P^2}\] (theo định lí Pythagore).

Vậy ta có đpcm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có $\Delta ABC\backsim \Delta DEF$  theo tỉ số đồng dạng là \[k\].

Do đó $\Delta DEF\backsim \Delta ABC$  theo tỉ số đồng dạng là \(\frac{1}{k}\).