Cho các số \(a,\,\,b,\,\,c\) khác nhau đôi một và \[\frac{{a + b}}{c} = \frac{{b + c}}{a} = \frac{{c + a}}{b}.\] Tính giá trị biểu thức:

\(M = \left( {1 + \frac{a}{b}} \right)\left( {1 + \frac{b}{c}} \right)\left( {1 + \frac{c}{a}} \right).\)

Hướng dẫn giải:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có

\[\frac{{a + b}}{c} = \frac{{b + c}}{a} = \frac{{c + a}}{b} = \frac{{a + b + b + c + c + a}}{{a + b + c}} = \frac{{2\left( {a + b + c} \right)}}{{a + b + c}}.\]

+) Nếu \(a + b + c \ne 0\) thì \[\frac{{a + b}}{c} = \frac{{b + c}}{a} = \frac{{c + a}}{b} = \frac{{2\left( {a + b + c} \right)}}{{a + b + c}} = 2\].

Suy ra \(a + b = 2c\,;\,\,b + c = 2a.\)

Do đó \(a - c = 2\left( {c - a} \right)\) nên \(c = a\), trái với đề bài.

+) Nếu \(a + b + c = 0\).

Ta có \(M = \left( {1 + \frac{a}{b}} \right)\left( {1 + \frac{b}{c}} \right)\left( {1 + \frac{c}{a}} \right) = \frac{{a + b}}{b} \cdot \frac{{b + c}}{c} \cdot \frac{{b + c}}{c}\)

\( = \frac{{ - c}}{b} \cdot \frac{{ - a}}{c} \cdot \frac{{ - b}}{c} =  - 1.\)

Vậy \(M = \left( {1 + \frac{a}{b}} \right)\left( {1 + \frac{b}{c}} \right)\left( {1 + \frac{c}{a}} \right) =  - 1.\)