Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{ - {x^2} + 10x - 12}}{x}\) có đồ thị \(\left( C \right)\).
a) [TH] Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0\,;\,\frac{7}{2}} \right)\).
Đúng
Sai
b) [NB] Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đường tiệm cận xiên là \(y = - x + 10\).
Đúng
Sai
c) [TH] Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là \(4\sqrt {15} \).
Đúng
Sai
d) [VDC] Trong mặt phẳng \(Oxy\) (đơn vị trên mỗi trục là \(1{\rm{ m}}\)) mô hình hoá một phần đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{ - {x^2} + 10x - 12}}{x},\left( {x > 0} \right)\) là bờ của phần đất nhô ra. Người ta muốn quây một ao nuôi tôm dạng hình tam giác \(ABC\) với \(A\left( { - 6\,;\,6} \right)\), đường thẳng \(BC\) là tiếp tuyến với \(\left( C \right)\) nhận \(B\) làm tiếp điểm và \(BC = 10{\rm{ m}}\) (Hình 1). Diện tích ao nuôi tôm lớn nhất là \(20\sqrt 5 {\rm{ }}{{\rm{m}}^2}\).
Đúng
Sai
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\)
\[y = f\left( x \right) = \frac{{ - {x^2} + 10x - 12}}{x} = - x + 10 - \frac{{12}}{x}\]
Þ \[f'\left( x \right) = - 1 + \frac{{12}}{{{x^2}}} = \frac{{ - {x^2} + 12}}{{{x^2}}}\]
\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \pm 2\sqrt 3 \)
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên, ta có hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0;2\sqrt 3 } \right)\)
Vì \(2\sqrt 3 < \frac{7}{2}\) nên hàm số không đồng biến trên khoảng \(\left( {0\,;\,\frac{7}{2}} \right)\).
Chọn SAI.
b) Ta có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( { - x + 10} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( { - \frac{{12}}{x}} \right) = 0\]
Þ Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đường tiệm cận xiên là \(y = - x + 10\).
Chọn ĐÚNG.
c) Toạ độ hai điểm cực trị của đồ thị \(\left( C \right)\) là \(M\left( { - 2\sqrt 3 \,;\,10 + 4\sqrt 3 } \right),N\left( {2\sqrt 3 \,;\,10 + 4\sqrt 3 } \right)\)
Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là:
\(MN = \sqrt {{{\left( { - 2\sqrt 3 - 2\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {10 + 4\sqrt 3 - \left( {10 - 4\sqrt 3 } \right)} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {4\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {8\sqrt 3 } \right)}^2}} = 4\sqrt {15} \).
Chọn ĐÚNG.
d) Xét điểm \(B\left( {a\,;\,b} \right) \in \left( C \right),a > 0\) Þ \(b = f\left( a \right) = \frac{{ - {a^2} + 10a - 12}}{a}\).
Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(B\) là:
\(\Delta :y = f'\left( a \right).\left( {x - a} \right) + f\left( a \right)\).
\( \Leftrightarrow \Delta :y = \frac{{12 - {a^2}}}{{{a^2}}}.\left( {x - a} \right) + \frac{{ - {a^2} + 10a - 12}}{a}\)
Û \[\Delta :{a^2}y = \left( {12 - {a^2}} \right)\left( {x - a} \right) + a\left( { - {a^2} + 10a - 12} \right)\]
Hay \[\Delta :\left( {{a^2} - 12} \right)x + {a^2}y - 10{a^2} + 24a = 0\]
Diện tích tam giác \(ABC\) là \(S = \frac{1}{2}BC.d\left( {A,BC} \right) = 5.d\left( {A,\Delta } \right)\).
Khoảng cách từ \(A\) đến \(\Delta \):
\(d\left( {A,\Delta } \right) = \frac{{\left| { - 6\left( {{a^2} - 12} \right) + 6{a^2} - 10{a^2} + 24a} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {{a^2} - 12} \right)}^2} + {a^4}} }}\)
\( = \frac{{\left| { - 10{a^2} + 24a + 72} \right|}}{{\sqrt {2{a^4} - 24{a^2} + 144} }} = \frac{{\sqrt 2 .\left| {5{a^2} - 12a - 36} \right|}}{{\sqrt {{a^4} - 12{a^2} + 72} }} = \sqrt 2 .\sqrt {\frac{{{{\left( {5{a^2} - 12a - 36} \right)}^2}}}{{{a^4} - 12{a^2} + 72}}} \)
Xét hàm số \(g\left( a \right) = \frac{{{{\left( {5{a^2} - 12a - 36} \right)}^2}}}{{{a^4} - 12{a^2} + 72}},a > 0\)
Ta có \(g'\left( a \right) = \frac{{2\left( {5{a^2} - 12a - 36} \right)\left( {10a - 12} \right)\left( {{a^4} - 12{a^2} + 72} \right) - {{\left( {5{a^2} - 12a - 36} \right)}^2}\left( {4{a^3} - 24a} \right)}}{{{{\left( {{a^4} - 12{a^2} + 72} \right)}^2}}}\)
\( = \frac{{4\left( {5{a^2} - 12a - 36} \right)\left[ {\left( {5a - 6} \right)\left( {{a^4} - 12{a^2} + 72} \right) - \left( {5{a^2} - 12a - 36} \right)\left( {{a^3} - 6a} \right)} \right]}}{{{{\left( {{a^4} - 12{a^2} + 72} \right)}^2}}}\)
\( = \frac{{4\left( {5{a^2} - 12a - 36} \right)\left( {6{a^4} + 6{a^3} + 144a - 432} \right)}}{{{{\left( {{a^4} - 12{a^2} + 72} \right)}^2}}}\)
\( = \frac{{24\left( {5{a^2} - 12a - 36} \right)\left( {a - 2} \right)\left( {{a^3} + 3{a^2} + 6a + 36} \right)}}{{{{\left( {{a^4} - 12{a^2} + 72} \right)}^2}}}\)
Vì \(a > 0 \Rightarrow {a^3} + 3{a^2} + 6a + 36 > 0\)
\(g'\left( a \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5{a^2} - 12a - 36 = 0\\a - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = \frac{{6 - 6\sqrt 6 }}{5}\left( L \right)\\a = \frac{{6 + 6\sqrt 6 }}{5}\\a = 2\end{array} \right.\)
\(\mathop {\lim }\limits_{a \to + \infty } g\left( a \right) = 25\)
Bảng biến thiên
|
\(a\) |
0 |
2 |
|
\(\frac{{6 + 6\sqrt 6 }}{5}\) |
\( + \infty \) |
|
\(g'\left( a \right)\) |
+ |
0 |
– |
0 |
+ |
|
\(g\left( a \right)\)
|
18 |
\(40\) |
|
0 |
25
|
Þ \(\mathop {\max }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} g\left( a \right) = 40\)
Þ Diện tích ao nuôi tôm lớn nhất là: \(5.\sqrt 2 .\sqrt {40} = 20\sqrt 5 {\rm{ }}{{\rm{m}}^2}\)
Chọn ĐÚNG.
Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- 500 Bài tập tổng ôn môn Toán (Form 2025) ( 38.500₫ )
- 20 đề thi tốt nghiệp môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 38.500₫ )
- Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết) ( 36.000₫ )
- Tổng ôn lớp 12 môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh Sử, Địa, KTPL (Form 2025) ( 36.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
a) [TH] Diện tích thực tế của cửa lều là \(7,5{\rm{ }}{{\rm{m}}^2}\).
Đúng
Sai
b) [VD] Khi treo đèn ở độ cao \(a = 3{\rm{m}}\), một người nằm trong vùng có ánh sáng chiếu vào cách bóng đèn xa nhất là \(6,18{\rm{m}}\)(làm tròn đến hàng phần trăm).
Đúng
Sai
c) [VD] Để ánh sáng phủ trọn hết chiều dài tấm thảm đỏ \(6{\rm{m}}\), kỹ thuật viên phải treo đèn ở độ cao \(2 < a \le 2,4{\rm{m}}\).
Đúng
Sai
d) [VD] Ban quản lý yêu cầu vùng sáng phải phủ kín thảm đỏ nhưng tuyệt đối không được chạm vào mép nước hồ bơi (để tránh chói mắt khách bơi). Khi đó, độ cao treo đèn \(a\) chỉ có thể nằm trong khoảng \(\left( {\frac{{16}}{7};2,4} \right]{\rm{ m\'e t}}{\rm{.}}\)
Đúng
Sai
Lời giải
Chọn hệ trục tọa độ \[Oxyz\] như hình vẽ, với \(O(0;0;0)\) là tâm hình vuông \[ABCD\].
Khi đó tọa độ các điểm là: \(A(3; - 3;0)\), \(B(3;3;0)\), \(S(0;0;4)\).
Nguồn sáng \(I\) nằm trên trục \[Oz\]nên \(I(0;0;a)\) với \(2 < a < 4\).
a) ĐÚNG
Ta có \(AB = 6{\rm{m}}\), \(EA = FB = 1{\rm{m}}\) nên \(EF = 4{\rm{m}}\).
Do \[H,G\] lần lượt là trung điểm của \[SE,SF\] nên \[HG\] là đường trung bình của \[\Delta SEF\].
Suy ra \(HG = \frac{1}{2}EF = 2{\rm{m}}\).
Gọi \(M\) là trung điểm của \[AB\] \( \Rightarrow SM = \sqrt {O{M^2} + S{O^2}} = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5\).
\(\Delta SAB\) cân tại \(S\), \(M\) là trung điểm của \[AB\]\( \Rightarrow SM \bot AB\). Kẻ \(MK \bot AB \Rightarrow MK\) là đường trung bình \[\Delta SEM \Rightarrow HK = \frac{1}{2}SM = \frac{5}{2} = 2,5\].
Diện tích cửa lều: \({S_{EFGH}} = \frac{{(EF + HG).HK}}{2} = \frac{{(4 + 2).2,5}}{2} = 7,5{\rm{ }}{{\rm{m}}^2}\).
b) ĐÚNG
Khi \(a = 3\), ta có \(I(0;0;3)\).
Khoảng cách xa nhất từ bóng đèn đến người nằm trong vùng có ánh sáng là \(IH'\).
\[H\] lần lượt là trung điểm \[SE\]. Với \(S(0;0;4)\) và \(E(3; - 2;0)\) thì \(H(1,5; - 1;2)\).
Đường thẳng \[IH\] đi qua \(I(0;0;3)\) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {IH} = (1,5; - 1; - 1)\).
Phương trình tham số đường thẳng \(IH:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1,5t}\\{y = - t}\\{z = 3 - t}\end{array}} \right.\).
Ta có: \(H' = IH \cap \left( {Oxy} \right) \Rightarrow 3 - t = 0 \Rightarrow t = 3 \Rightarrow \)Tọa độ \(H'(4,5; - 3;0)\).
Khoảng cách xa nhất là \(IH' = \sqrt {4,{5^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {{(0 - 3)}^2}} = \sqrt {38,25} \approx 6,18{\rm{m}}\).
c) ĐÚNG
Người ta trải một tấm thảm đỏ rộng \(4{\rm{m}}\) dài \(6{\rm{m}}\) sao cho cạnh ngắn nhất vừa khít với cửa lều.
Vậy thảm đỏ là hình chữ nhật \[EFJQ\] và \(EQ{\rm{//}}Ox \Rightarrow {x_Q} = 3 + 6 = 9 \Rightarrow Q\left( {9; - 2;0} \right)\).
Để ánh sáng phủ trọn hết chiều dài tấm thảm đỏ \(6{\rm{m}}\)tức là Q và J phải nằm trong miền hình thang \[EFG'H'\]\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{H'}} \ge {x_Q} = 9\\{y_{H'}} \le {y_Q} = - 2\end{array} \right.\).
Đường thẳng \[IH\] đi qua \(I(0;0;a)\) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {IH} = (1,5; - 1;2 - a)\).
Phương trình tham số đường thẳng \(IH:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1,5t}\\{y = - t}\\{z = a + \left( {2 - a} \right)t}\end{array}} \right.\).
Ta có: \(H' = IH \cap \left( {Oxy} \right) \Rightarrow a + \left( {2 - a} \right)t = 0 \Rightarrow t = \frac{{ - a}}{{2 - a}} = \frac{a}{{a - 2}} \Rightarrow \)Tọa độ \(H'\left( {\frac{{1,5a}}{{a - 2}}; - \frac{a}{{a - 2}};0} \right)\).
Do \[2 < a < 4 \Rightarrow a - 2 > 0\].
d) ĐÚNG
Ban quản lý yêu cầu vùng sáng phải phủ kín thảm đỏ nên \[2 < a \le 2,4\].
Để không chạm mép hồ, yêu cầu \({x_{H'}} < 3 + 9 = 12 \Rightarrow \frac{{1,5a}}{{a - 2}} < 12 \Leftrightarrow 1,5a < 12\left( {a - 2} \right) \Leftrightarrow a > \frac{{16}}{7}\).
Suy ra \[\frac{{16}}{7} < a \le 2,4\]m.
Vậy độ cao treo đèn \(a\) chỉ có thể nằm trong khoảng \(\left( {\frac{{16}}{7};2,4} \right]{\rm{ m\'e t}}{\rm{.}}\)
Câu 2
a) [NB] Tỉ lệ người được phỏng vấn thực sự xem trận đấu là 60%.
Đúng
Sai
b) [TH] Trong số những người thực sự xem trận đấu, số người đã trả lời "không xem" khi phỏng vấn chiếm tỉ lệ 10%.
Đúng
Sai
c) [TH] Trong số những người mặc áo thi đấu tỉ lệ người thực sự xem trận đấu là 85%, thì tỉ lệ người thực sự xem trận đấu trong những người không mặc áo thi đấu là 53,75%.
Đúng
Sai
d) [VD,VDC] Gọi E là biến cố "Người trả lời sai sự thật" (trả lời có và không xem hoặc ngược lại). Biết rằng trong nhóm mặc áo thi đấu, xác suất xảy ra biến cố E là 10%. Khi đó, xác suất để một người trả lời đúng sự thật trong nhóm không mặc áo thi đấu là 87,5%.
Đúng
Sai
Lời giải
a) Đúng.
Theo đề bài ta có: \(P\left( B \right) = 0,6;\,\,P\left( {\overline B } \right) = 0,4;\,\,P\left( {A|B} \right) = 0,9;\,\,P\left( {A|\overline B } \right) = 0,15\)
Tỉ lệ người được phỏng vấn thực sự xem trận đấu là:
\(P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right) = 0,6.0,9 + 0,4.0,15 = 0,6\) hay \(60\% \).
b) Đúng.
Tỉ lệ người đã trả lời "không xem" khi phỏng vấn trong số những người thực sự xem trận đấu là: \(P\left( {\overline B |A} \right) = \frac{{P\left( {\overline B A} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0,4.0,15}}{{0,6}} = 0,1\) hay \(10\% \).
c) Đúng
Gọi C là biến cố "Người được phỏng vấn mặc áo thi đấu".
Theo đề bài ta có: \(P\left( C \right) = 0,2\)\( \Rightarrow P\left( {\overline C } \right) = 0,8\).
Trong số những người mặc áo thi đấu tỉ lệ người thực sự xem trận đấu là 85% nên \(P\left( {A|C} \right) = 0,85\).
Ta có \(P\left( A \right) = P\left( {AC} \right) + P\left( {A\overline C } \right) \Leftrightarrow P\left( A \right) = P\left( C \right).P\left( {A|C} \right) + P\left( {A\overline C } \right)\).
\( \Rightarrow 0,6 = 0,2.0,85 + P\left( {A\overline C } \right) \Rightarrow P\left( {A\overline C } \right) = 0,43\).
Ta có tỉ lệ người thực sự xem trận đấu trong những người không mặc áo thi đấu là:
\(P\left( {A|\overline C } \right) = \frac{{P\left( {A\overline C } \right)}}{{P\left( {\overline C } \right)}} = \frac{{0,43}}{{0,8}} = 0,5375\) hay \(53,75\% \).
d) Đúng.
Ta có trong nhóm mặc áo thi đấu, xác suất xảy ra biến cố E là 10% nên
\(P\left( {E|C} \right) = 0,1 \Rightarrow P\left( {\overline E |C} \right) = 0,9\).
Xác suất người trả lời sai sự thật là:
\[P\left( E \right) = P\left( {A\overline B } \right) + P\left( {\overline A B} \right) = P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right) + P\left( B \right).P\left( {\overline A |B} \right) = 0,4.0,15 + 0,6.0,1 = 0,12\].
Xác suất người trả lời đúng sự thật là: \(P\left( {\overline E } \right) = 1 - 0,12 = 0,88\).
Ta có \(P\left( {\overline E } \right) = P\left( {\overline E C} \right) + P\left( {\overline E \overline C } \right) \Leftrightarrow P\left( {\overline E } \right) = P\left( C \right).P\left( {\overline E |C} \right) + P\left( {\overline E \overline C } \right)\)
\( \Rightarrow 0,88 = 0,2.0,9 + P\left( {\overline E \overline C } \right) \Leftrightarrow P\left( {\overline E \overline C } \right) = 0,7\)
Khi đó, xác suất để một người trả lời đúng sự thật trong nhóm không mặc áo thi đấu là:
\(P\left( {\overline E |\overline C } \right) = \frac{{P\left( {\overline E \overline C } \right)}}{{P\left( {\overline C } \right)}} = \frac{{0,7}}{{0,8}} = 0,875\) hay \(87,5\% \).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập