Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{ - {x^2} + 10x - 12}}{x}\) có đồ thị \(\left( C \right)\).

a) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\)

\[y = f\left( x \right) = \frac{{ - {x^2} + 10x - 12}}{x} = - x + 10 - \frac{{12}}{x}\]

-> \[f'\left( x \right) = - 1 + \frac{{12}}{{{x^2}}} = \frac{{ - {x^2} + 12}}{{{x^2}}}\]

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \pm 2\sqrt 3 \)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta có hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0;2\sqrt 3 } \right)\)

Vì \(2\sqrt 3 < \frac{7}{2}\) nên hàm số không đồng biến trên khoảng \(\left( {0\,;\,\frac{7}{2}} \right)\).

Chọn SAI.

b) Ta có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( { - x + 10} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( { - \frac{{12}}{x}} \right) = 0\]

-> Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đường tiệm cận xiên là \(y = - x + 10\).

Chọn ĐÚNG.

c) Toạ độ hai điểm cực trị của đồ thị \(\left( C \right)\) là \(M\left( { - 2\sqrt 3 \,;\,10 + 4\sqrt 3 } \right),N\left( {2\sqrt 3 \,;\,10 + 4\sqrt 3 } \right)\)

Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

\(MN = \sqrt {{{\left( { - 2\sqrt 3 - 2\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {10 + 4\sqrt 3 - \left( {10 - 4\sqrt 3 } \right)} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {4\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {8\sqrt 3 } \right)}^2}} = 4\sqrt {15} \).

Chọn ĐÚNG.

d) Xét điểm \(B\left( {a\,;\,b} \right) \in \left( C \right),a > 0\) Þ \(b = f\left( a \right) = \frac{{ - {a^2} + 10a - 12}}{a}\).

Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(B\) là:

\(\Delta :y = f'\left( a \right).\left( {x - a} \right) + f\left( a \right)\).

\( \Leftrightarrow \Delta :y = \frac{{12 - {a^2}}}{{{a^2}}}.\left( {x - a} \right) + \frac{{ - {a^2} + 10a - 12}}{a}\)

 \[\Delta :{a^2}y = \left( {12 - {a^2}} \right)\left( {x - a} \right) + a\left( { - {a^2} + 10a - 12} \right)\]

Hay \[\Delta :\left( {{a^2} - 12} \right)x + {a^2}y - 10{a^2} + 24a = 0\]

Diện tích tam giác \(ABC\) là \(S = \frac{1}{2}BC.d\left( {A,BC} \right) = 5.d\left( {A,\Delta } \right)\).

Khoảng cách từ \(A\) đến \(\Delta \):

\(d\left( {A,\Delta } \right) = \frac{{\left| { - 6\left( {{a^2} - 12} \right) + 6{a^2} - 10{a^2} + 24a} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {{a^2} - 12} \right)}^2} + {a^4}} }}\)

\( = \frac{{\left| { - 10{a^2} + 24a + 72} \right|}}{{\sqrt {2{a^4} - 24{a^2} + 144} }} = \frac{{\sqrt 2 .\left| {5{a^2} - 12a - 36} \right|}}{{\sqrt {{a^4} - 12{a^2} + 72} }} = \sqrt 2 .\sqrt {\frac{{{{\left( {5{a^2} - 12a - 36} \right)}^2}}}{{{a^4} - 12{a^2} + 72}}} \)

Xét hàm số \(g\left( a \right) = \frac{{{{\left( {5{a^2} - 12a - 36} \right)}^2}}}{{{a^4} - 12{a^2} + 72}},a > 0\)

Ta có \(g'\left( a \right) = \frac{{2\left( {5{a^2} - 12a - 36} \right)\left( {10a - 12} \right)\left( {{a^4} - 12{a^2} + 72} \right) - {{\left( {5{a^2} - 12a - 36} \right)}^2}\left( {4{a^3} - 24a} \right)}}{{{{\left( {{a^4} - 12{a^2} + 72} \right)}^2}}}\)

\( = \frac{{4\left( {5{a^2} - 12a - 36} \right)\left[ {\left( {5a - 6} \right)\left( {{a^4} - 12{a^2} + 72} \right) - \left( {5{a^2} - 12a - 36} \right)\left( {{a^3} - 6a} \right)} \right]}}{{{{\left( {{a^4} - 12{a^2} + 72} \right)}^2}}}\)

\( = \frac{{4\left( {5{a^2} - 12a - 36} \right)\left( {6{a^4} + 6{a^3} + 144a - 432} \right)}}{{{{\left( {{a^4} - 12{a^2} + 72} \right)}^2}}}\)

\( = \frac{{24\left( {5{a^2} - 12a - 36} \right)\left( {a - 2} \right)\left( {{a^3} + 3{a^2} + 6a + 36} \right)}}{{{{\left( {{a^4} - 12{a^2} + 72} \right)}^2}}}\)

Vì \(a > 0 \Rightarrow {a^3} + 3{a^2} + 6a + 36 > 0\)

\(g'\left( a \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5{a^2} - 12a - 36 = 0\\a - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = \frac{{6 - 6\sqrt 6 }}{5}\left( L \right)\\a = \frac{{6 + 6\sqrt 6 }}{5}\\a = 2\end{array} \right.\)

\(\mathop {\lim }\limits_{a \to + \infty } g\left( a \right) = 25\)

Bảng biến thiên

\(a\)	0	2		\(\frac{{6 + 6\sqrt 6 }}{5}\)	\( + \infty \)
\(g'\left( a \right)\)	+	0	–	0	+
\(g\left( a \right)\)	18	\(40\)		0	25

-> \(\mathop {\max }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} g\left( a \right) = 40\)

-> Diện tích ao nuôi tôm lớn nhất là: \(5.\sqrt 2 .\sqrt {40} = 20\sqrt 5 {\rm{ }}{{\rm{m}}^2}\)

Chọn ĐÚNG.