Một khu resort dựng một lều sự kiện hình chóp tứ giác đều có đáy vuông cạnh 6m, cao 4m. Cửa lều là hình thang \[EFGH\] trên mặt bên \(\left( {SAB} \right)\) sao cho \[EA = FB = 1\]m (với \[E,F \in AB\] và \[H,G\] lần lượt là trung điểm \[SE,SF\]). Nguồn sáng \(I\) treo tại \[\left( {0;0;a} \right)\] trên trục \[Oz\,\,\left( {2 < a < 4} \right)\] chiếu qua cửa lều thành vùng sáng hình thang \[EFG'H'\] trên sân cỏ.

Biết rằng ngay trước cửa lều, dọc theo trục \[Ox\]:

 Người ta trải một tấm thảm đỏ rộng \(4{\rm{m}}\) dài \(6{\rm{m}}\) sao cho cạnh ngắn nhất vừa khít với cửa lều.

 Cách cửa lều \(9{\rm{m}}\) là mép của một hồ bơi sang trọng.

a) Đúng.

Theo đề bài ta có: \(P\left( B \right) = 0,6;\,\,P\left( {\overline B } \right) = 0,4;\,\,P\left( {A|B} \right) = 0,9;\,\,P\left( {A|\overline B } \right) = 0,15\)

Tỉ lệ người được phỏng vấn thực sự xem trận đấu là:

\(P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right) = 0,6.0,9 + 0,4.0,15 = 0,6\) hay \(60\% \).

b) Đúng.

Tỉ lệ người đã trả lời "không xem" khi phỏng vấn trong số những người thực sự xem trận đấu là: \(P\left( {\overline B |A} \right) = \frac{{P\left( {\overline B A} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0,4.0,15}}{{0,6}} = 0,1\) hay \(10\% \).

c) Đúng

Gọi C là biến cố "Người được phỏng vấn mặc áo thi đấu".

Theo đề bài ta có: \(P\left( C \right) = 0,2\)\( \Rightarrow P\left( {\overline C } \right) = 0,8\).

Trong số những người mặc áo thi đấu tỉ lệ người thực sự xem trận đấu là 85% nên \(P\left( {A|C} \right) = 0,85\).

Ta có \(P\left( A \right) = P\left( {AC} \right) + P\left( {A\overline C } \right) \Leftrightarrow P\left( A \right) = P\left( C \right).P\left( {A|C} \right) + P\left( {A\overline C } \right)\).

\( \Rightarrow 0,6 = 0,2.0,85 + P\left( {A\overline C } \right) \Rightarrow P\left( {A\overline C } \right) = 0,43\).

Ta có tỉ lệ người thực sự xem trận đấu trong những người không mặc áo thi đấu là:

\(P\left( {A|\overline C } \right) = \frac{{P\left( {A\overline C } \right)}}{{P\left( {\overline C } \right)}} = \frac{{0,43}}{{0,8}} = 0,5375\) hay \(53,75\% \).

d) Đúng.

Ta có trong nhóm mặc áo thi đấu, xác suất xảy ra biến cố E là 10% nên

\(P\left( {E|C} \right) = 0,1 \Rightarrow P\left( {\overline E |C} \right) = 0,9\).

Xác suất người trả lời sai sự thật là:

\[P\left( E \right) = P\left( {A\overline B } \right) + P\left( {\overline A B} \right) = P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right) + P\left( B \right).P\left( {\overline A |B} \right) = 0,4.0,15 + 0,6.0,1 = 0,12\].

Xác suất người trả lời đúng sự thật là: \(P\left( {\overline E } \right) = 1 - 0,12 = 0,88\).

Ta có \(P\left( {\overline E } \right) = P\left( {\overline E C} \right) + P\left( {\overline E \overline C } \right) \Leftrightarrow P\left( {\overline E } \right) = P\left( C \right).P\left( {\overline E |C} \right) + P\left( {\overline E \overline C } \right)\)

\( \Rightarrow 0,88 = 0,2.0,9 + P\left( {\overline E \overline C } \right) \Leftrightarrow P\left( {\overline E \overline C } \right) = 0,7\)

Khi đó, xác suất để một người trả lời đúng sự thật trong nhóm không mặc áo thi đấu là:

\(P\left( {\overline E |\overline C } \right) = \frac{{P\left( {\overline E \overline C } \right)}}{{P\left( {\overline C } \right)}} = \frac{{0,7}}{{0,8}} = 0,875\) hay \(87,5\% \).

Đáp án: \[54\].

Từ hình vẽ ta có \(N(12;6)\) nên cạnh trên của mặt cắt thuộc đường thẳng \(y = 6\).

Điểm \(M\) nằm trên trục \(Oy\) và cùng tung độ với \(N\) nên \(M(0;6)\).

Parabol đi qua \(M(0;6)\) nên: \(6 = k{(0 - 8)^2} = 64k \Rightarrow k = \frac{3}{{32}}\).

Vậy đáy bể có phương trình: \(y = \frac{3}{{32}}{(x - 8)^2}\).

Diện tích mặt cắt ngang là: \(S = \int\limits_0^{12} {\left( {6 - \frac{3}{{32}}{{(x - 8)}^2}} \right)} \,dx = 54\).

Vậy diện tích mặt cắt ngang là: \(54\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).