Trước thềm trận siêu kinh điển (El Clasico) giữa Barcelona và Real Madrid, Đài truyền hình Marca thực hiện phỏng vấn ngẫu nhiên một lượng người hâm mộ (biết rằng trong số những người được phỏng vấn, số người đang mặc áo thi đấu của hai đội chiếm 20%). Kết quả khảo sát cho thấy rằng 60% người trả lời sẽ xem, 40% người còn lại trả lời sẽ không xem. Tuy nhiên, số liệu thực tế sau trận đấu cho thấy có sự sai lệch giữa câu trả lời và hành động thực:

* Trong số những người trả lời "có xem", tỉ lệ người thực sự xem là 90%.

* Trong số những người trả lời "không xem", tỉ lệ người thực sự xem là 15%.

Gọi A là biến cố "Người được phỏng vấn thực sự xem trận đấu".

Gọi B là biến cố "Người được phỏng vấn trả lời sẽ xem trận đấu".

Chọn hệ trục tọa độ \[Oxyz\] như hình vẽ, với \(O(0;0;0)\) là tâm hình vuông \[ABCD\].

Khi đó tọa độ các điểm là: \(A(3; - 3;0)\), \(B(3;3;0)\), \(S(0;0;4)\).

Nguồn sáng \(I\) nằm trên trục \[Oz\]nên \(I(0;0;a)\) với \(2 < a < 4\).

a) ĐÚNG

Ta có \(AB = 6{\rm{m}}\), \(EA = FB = 1{\rm{m}}\) nên \(EF = 4{\rm{m}}\).

Do \[H,G\] lần lượt là trung điểm của \[SE,SF\] nên \[HG\] là đường trung bình của \[\Delta SEF\].

Suy ra \(HG = \frac{1}{2}EF = 2{\rm{m}}\).

Gọi \(M\) là trung điểm của \[AB\] \( \Rightarrow SM = \sqrt {O{M^2} + S{O^2}} = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5\).

\(\Delta SAB\) cân tại \(S\), \(M\) là trung điểm của \[AB\]\( \Rightarrow SM \bot AB\). Kẻ \(MK \bot AB \Rightarrow MK\) là đường trung bình \[\Delta SEM \Rightarrow HK = \frac{1}{2}SM = \frac{5}{2} = 2,5\].

Diện tích cửa lều: \({S_{EFGH}} = \frac{{(EF + HG).HK}}{2} = \frac{{(4 + 2).2,5}}{2} = 7,5{\rm{ }}{{\rm{m}}^2}\).

b) ĐÚNG

Khi \(a = 3\), ta có \(I(0;0;3)\).

Khoảng cách xa nhất từ bóng đèn đến người nằm trong vùng có ánh sáng là \(IH'\).

\[H\] lần lượt là trung điểm \[SE\]. Với \(S(0;0;4)\) và \(E(3; - 2;0)\) thì \(H(1,5; - 1;2)\).

Đường thẳng \[IH\] đi qua \(I(0;0;3)\) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {IH} = (1,5; - 1; - 1)\).

Phương trình tham số đường thẳng \(IH:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1,5t}\\{y = - t}\\{z = 3 - t}\end{array}} \right.\).

Ta có: \(H' = IH \cap \left( {Oxy} \right) \Rightarrow 3 - t = 0 \Rightarrow t = 3 \Rightarrow \)Tọa độ \(H'(4,5; - 3;0)\).

Khoảng cách xa nhất là \(IH' = \sqrt {4,{5^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {{(0 - 3)}^2}} = \sqrt {38,25} \approx 6,18{\rm{m}}\).

c) ĐÚNG

Người ta trải một tấm thảm đỏ rộng \(4{\rm{m}}\) dài \(6{\rm{m}}\) sao cho cạnh ngắn nhất vừa khít với cửa lều.

Vậy thảm đỏ là hình chữ nhật \[EFJQ\] và \(EQ{\rm{//}}Ox \Rightarrow {x_Q} = 3 + 6 = 9 \Rightarrow Q\left( {9; - 2;0} \right)\)_.

Để ánh sáng phủ trọn hết chiều dài tấm thảm đỏ \(6{\rm{m}}\)tức là Q và J phải nằm trong miền hình thang \[EFG'H'\]\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{H'}} \ge {x_Q} = 9\\{y_{H'}} \le {y_Q} = - 2\end{array} \right.\).

Đường thẳng \[IH\] đi qua \(I(0;0;a)\) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {IH} = (1,5; - 1;2 - a)\).

Phương trình tham số đường thẳng \(IH:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1,5t}\\{y = - t}\\{z = a + \left( {2 - a} \right)t}\end{array}} \right.\).

Ta có: \(H' = IH \cap \left( {Oxy} \right) \Rightarrow a + \left( {2 - a} \right)t = 0 \Rightarrow t = \frac{{ - a}}{{2 - a}} = \frac{a}{{a - 2}} \Rightarrow \)Tọa độ \(H'\left( {\frac{{1,5a}}{{a - 2}}; - \frac{a}{{a - 2}};0} \right)\).

Do \[2 < a < 4 \Rightarrow a - 2 > 0\].

d) ĐÚNG

Ban quản lý yêu cầu vùng sáng phải phủ kín thảm đỏ nên \[2 < a \le 2,4\].

Để không chạm mép hồ, yêu cầu \({x_{H'}} < 3 + 9 = 12 \Rightarrow \frac{{1,5a}}{{a - 2}} < 12 \Leftrightarrow 1,5a < 12\left( {a - 2} \right) \Leftrightarrow a > \frac{{16}}{7}\).

Suy ra \[\frac{{16}}{7} < a \le 2,4\]m.

Vậy độ cao treo đèn \(a\) chỉ có thể nằm trong khoảng \(\left( {\frac{{16}}{7};2,4} \right]{\rm{ m\'e t}}{\rm{.}}\)

Đáp án: \[140\].

Gọi \[G,H,I\] lần lượt là trung điểm của \[AD,AE,AB\].

\[\Delta AGE\] đều nên \[GH \bot AE\]

\[A{E^2} + B{E^2} = {4^2} + {3^2} = {5^2} = A{B^2} \Rightarrow \Delta ABE\] vuông tại \[E\].

Suy ra \[BE \bot AE\], mà \[HI//BE \Rightarrow HI \bot AE\] mà \[GH \bot AE\] nên \[\left[ {B,AE,D} \right] = \widehat {GHI}\].

\[GH = 4.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 2\sqrt 3 \left( m \right),\,HI = \frac{1}{2}BE = \frac{3}{2}\left( m \right)\],

\[AD = 8\,\,\left( m \right) \Rightarrow BD = \sqrt {B{A^2} + A{D^2}} = \sqrt {89} \,\,\left( m \right) \Rightarrow GI = \frac{1}{2}BD = \frac{{\sqrt {89} }}{2}\,\,\left( m \right)\].

Từ đó: \[c{\rm{os}}\widehat {GHI} = \frac{{H{G^2} + H{I^2} - G{I^2}}}{{2.HG.HI}} = \frac{{ - 4}}{{3\sqrt 3 }} \Rightarrow \widehat {GHI} \approx 140^\circ \].