Một phòng trưng bày nghệ thuật dạng hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) với kích thước: dài \(AD = 8\,\) mét, rộng \(AB = 6\) mét, cao \(AA' = 4\) mét. Kỹ sư thiết lập hệ trục tọa độ \(Oxyz\) để số hóa căn phòng như sau: Gốc tọa độ \(O(0;0;0)\) đặt tại \(A\); các trục \[Ox,Oy,Oz\] lần lượt trùng với các cạnh \[AD,\,AB,AA'\] (chiều dương lần lượt từ \[A\] đến \[D\], từ \[A\] đến \[B\], từ \[A\] đến \[A'\]) (Đơn vị trên các trục tọa độ là mét). Hệ thống giám sát gồm một camera gắn tại tâm \[S\] của mặt trần \[A'B'C'D'\] và một cảm biến hồng ngoại gắn tại đỉnh \[C\] (đỉnh đối diện với \[A\] trên mặt sàn \[ABCD\]). Camera đang giám sát một bức tranh được treo chính giữa bức tường \[CDD'C'\], gọi \[P\] là tâm của bức tranh (cũng là tâm của hình chữ nhật \[CDD'C'\]).

Một nghệ nhân có \[9\] chiếc đèn lồng với độ dài dây treo (\[cm\]) lần lượt là \[10\]¸\[20\]¸\[30\], …, \[90\]. Khung đèn là một tam giác đều \[ABC\]; gọi \[M\], \[N\], \[P\] lần lượt là trung điểm của \[AB\], \[BC\], \[CA\]. Nghệ nhân chọn ngẫu nhiên \[6\] chiếc đèn và gán ngẫu nhiên vào \[6\] vị trí \[A\], \[B\], \[C\], \[M\], \[N\], \[P\] (mọi cách gán là đồng khả năng). Để khung đèn đạt độ cân bằng hoàn hảo, trên mỗi cạnh tam giác, chiều dài dây treo của đèn ở giữa phải bằng trung bình cộng chiều dài dây treo của hai đèn ở hai đầu mút cạnh đó. Gọi xác suất để thỏa mãn điều kiện ngay lần chọn và gán đầu tiên là \[p\]. Giá trị của \[\frac{6}{p}\] bằng bao nhiêu?

Bạn đang đứng điều khiển Flycam từ sân thượng một quán cà phê ở vị trí \(A(10;20;50)\) (độ cao 50 mét so với mặt đất), coi tọa độ là mét trong không gian Oxyz. Mục tiêu là bay thẳng đến quay cận cảnh màn trình diễn đèn LED tại thân toà tháp đối diện ở tọa độ \(C(130;180;260)\) (Flycam bay theo đoạn thẳng AC). Do ban quản lý toà tháp thiết lập vùng cấm bay xung quanh thiết bị đèn LED (tâm C) với bán kính an toàn là 40 mét. Flycam phải dừng lại ngay khi chạm mép vùng này. Hỏi quãng đường Flycam bay được từ quán cà phê đến điểm dừng là bao nhiêu mét?

Một nhà máy tung ra thị trường dòng drone phun thuốc tự động. Nhà máy có công suất tối đa \[350\]chiếc/quý. Phòng kinh doanh đưa ra hai tham số tài chính quan trọng cho việc sản xuất và tiêu thụ hết \[x\left( {x \in \mathbb{N}*,x \le 350} \right)\] chiếc drone trong một quý như sau:

Giá bán mỗi chiếc drone được xác định theo hàm cầu: \[P\left( x \right) = 120 - 0,2x\] (đơn vị: triệu đồng/chiếc). Chi phí vận hành cố định: \[1000\] triệu đồng. Chi phí linh kiện: Giá gốc là \[50\] triệu đồng/chiếc, nếu sản xuất trên \[100\]chiếc thì chi phí linh kiện giảm xuống chỉ còn \[40\] triệu đồng/chiếc (áp dụng cho toàn bộ lô hàng). Lợi nhuận sau thuế nhà máy lớn nhất đạt bao nhiêu triệu đồng? (Biết thuế \[10\% \]tính trên lợi nhuận dương).

Trong một góc nhà xưởng, nền và hai vách vuông góc đôi một; đỉnh cọc tiếp địa là \(A\) có khoảng cách vuông góc đến nền, vách 1, vách 2 lần lượt là \(45{\rm{ cm}},75{\rm{ cm}},75{\rm{ cm}}\). Người thợ lắp một tấm ván khuôn (coi như một mặt phẳng) đi qua \(A\), các mép tấm ván áp sát và bịt kín với nền và hai vách để tạo một khối bê tông dạng tứ diện (có ba mặt trùng với nền và hai vách). Tính thể tích nhỏ nhất của khối bê tông (đơn vị \({m^3}\)) (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Cho hàm số \[f\left( x \right)\]  xác định trên \[R\] thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: \[f\left( x \right)\] là hàm số lẻ và \[f\left( x \right) = {x^2}\] với mọi \[x \le 0\]. Giá trị của \[f\left( 2 \right)\] bằng

Hàm số \(y = - 11{x^4} + 4{x^2} + 82\), đạt cực tiểu tại \(x\) bằng bao nhiêu?

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a.\) Gọi \(I\) là tâm của mặt bên \(ADD'A'\) và \(K\) là trung điểm của cạnh \(CC'.\) Cho biết \(\overrightarrow {IB} .\overrightarrow {AK} = n{a^2}{\rm{ }}(n\) là số thập phân). Giá trị của \(n\) bằng bao nhiêu?