Xác định parabol \(y = a{x^2} + bx + c\), biết rằng parabol đi qua điểm \(M(0;2)\) và có đỉnh là \(I(2; - 1)\)

Sau một năm số lượng cá trong hồ là \(1000 + 1000x = 1000(1 + x)\) (con).

Sau hai năm số lượng cá trong hồ là \(1000(1 + x) + 1000(1 + x)x = 1000{(1 + x)^2}\) (con).

Điều kiện \(x > 0\). Để số lượng cá trong hồ sau hai năm là 36000 thì ta có: \(1000{(1 + x)^2} = 36000 \Leftrightarrow {(1 + x)^2} = 36 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 5}\\{x =  - 7\left( l \right)}\end{array}} \right.\)

Vậy tốc độ tăng thêm số lượng cá trong hồ sau mỗi năm là 5 lần số lượng cá ban đầu.

Gọi phương trình của parabol quỹ đạo là \(h = a{t^2} + bt + c\).

Từ giả thiết suy ra parabol đi qua các điểm \(\left( {0;1;2} \right)\), \(\left( {1;8;5} \right)\) và \(\left( {2;6} \right)\).

Từ đó ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}c = 1,2\\a + b + c = 8,5\\4a + 2b + c = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 4,9\\b = 12,2\\c = 1,2\end{array} \right.\).

Vậy phương trình của parabol quỹ đạo là \(h =  - 4,9{t^2} + 12,2t + 1,2\).

Giải phương trình

\(h = 0 \Leftrightarrow  - 4,9{t^2} + 12,2t + 1,2 = 0\) ta tìm được một nghiệm dương là \(t \approx 2,58\).