Một người nông dân thả 1000 con cá giống vào hồ nuôi vừa mới đào. Biết rằng sau mỗi năm thì số lượng cá trong hồ tăng thêm \(x\) lần số lượng cá ban đầu và \(x\) không đổi.

Bằng cách thay đổi kĩ thuật nuôi và thức ăn cho cá. Hỏi sau hai năm để số cá trong hồ là 36000 con thì tốc độ tăng số lượng cá trong hồ là bao nhiêu? Biết tốc độ tăng mỗi năm là không đổi.

Parabol \(y = a{x^2} + bx + c\) đi qua điểm \(M(0;2)\) suy ra \(a{.0^2} + b.0 + c = 2 \Rightarrow c = 2.\) Mặt khác, đỉnh \(I\) của parabol có toạ độ là \((2; - 1)\) nên:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \frac{b}{{2a}} = 2}\\{a \cdot {2^2} + b \cdot 2 + 2 =  - 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{b =  - 4a}\\{4a + 2b =  - 3}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \frac{3}{4}}\\{b =  - 3}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Vậy parabol cần tìm là \(y = \frac{3}{4}{x^2} - 3x + 2\).

Dựng hệ trục \(Oxy\) như hình vẽ và gọi hàm số tương ứng cổng Arch là: \(y = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\).

Vì parabol qua ba điểm \(A\left( {0;0} \right),B\left( {162;0} \right),M\left( {10;43} \right)\) nên

\(\left\{ \begin{array}{l}c = 0\\{162^2}a + 162b + c = 0\\{10^2}a + 10b + c = 43\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - \frac{{43}}{{1520}}\\b = \frac{{3483}}{{760}}\end{array} \right.\)

Do vậy ta xác định được hàm số là \(y =  - \frac{{43}}{{1520}}{x^2} + \frac{{3483}}{{760}}x\).

Đỉnh \(I\) của parabol có tọa độ: \({x_I} =  - \frac{b}{{2a}} = 81,{y_I} \approx 185,6\).