Xác định \[a\], \[b\], \[c\] biết Parabol có đồ thị hàm số \[y = a{x^2} + bx + c\] đi qua các điểm \[M\left( {0;\, - 1} \right)\], \[N\left( {1;\, - 1} \right)\], \[P\left( { - 1;\,1} \right)\].

Dựng trục \(Oxy\) như hình vẽ.

Gọi \((P):y = a{x^2} + bx + c(a \ne 0)\).

Ta có \((P)\) qua các điểm \(I(0;4),E(2;3),F( - 2;3)\) nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{c = 4}\\{4a + 2b + c = 3}\\{4a - 2b + c = 3}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a =  - \frac{1}{4}}\\{b = 0}\\{c = 4}\end{array}} \right.} \right.\)

Ta có \((P):y =  - \frac{1}{4}{x^2} + 4\).

Hai điểm \(A,B\) là giao điểm của \((P)\) với \(Ox\) nên hoành độ thỏa mãn \( - \frac{1}{4}{x^2} + 4 = 0 \Leftrightarrow x =  \pm 4\).

Do vậy \(A( - 4;0),B(4;0) \Rightarrow AB = 8\).

\((P)\) qua hai điểm \(A(3;6)\) và \(I(1;4)\) nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{9a + 3b + c = 6}\\{a + b + c = 4}\end{array}} \right.\) (1).

Mặt khác, hoành độ đỉnh: \({x_I} =  - \frac{b}{{2a}} = 1 \Rightarrow 2a + b = 0\) (2).

Giải hệ gồm (1), (2) suy ra: \(a = \frac{1}{2},b =  - 1,c = \frac{9}{2}\). Vậy \((P):y = \frac{1}{2}{x^2} - x + \frac{9}{2}\).