Biết rằng hàm số \[y = a{x^2} + bx + c{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)\] đạt cực tiểu bằng \(4\) tại \(x = 2\) và có đồ thị hàm số đi qua điểm \(A\left( {0;6} \right)\). Tính tích \(P = abc\).

Dựng trục \(Oxy\) như hình vẽ.

Gọi \((P):y = a{x^2} + bx + c(a \ne 0)\).

Ta có \((P)\) qua các điểm \(I(0;4),E(2;3),F( - 2;3)\) nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{c = 4}\\{4a + 2b + c = 3}\\{4a - 2b + c = 3}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a =  - \frac{1}{4}}\\{b = 0}\\{c = 4}\end{array}} \right.} \right.\)

Ta có \((P):y =  - \frac{1}{4}{x^2} + 4\).

Hai điểm \(A,B\) là giao điểm của \((P)\) với \(Ox\) nên hoành độ thỏa mãn \( - \frac{1}{4}{x^2} + 4 = 0 \Leftrightarrow x =  \pm 4\).

Do vậy \(A( - 4;0),B(4;0) \Rightarrow AB = 8\).

\( + \) Ta có: \( - \frac{b}{{2a}} =  - \frac{{{m^2} - 8}}{{2 \cdot ( - 1)}} = \frac{{{m^2} - 8}}{2}\)

Vì \( - 1 < 0\): hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;\frac{{{m^2} - 8}}{2}} \right)\), nghịch biến trên khoảng \(\left( {\frac{{{m^2} - 8}}{2}; + \infty } \right)\)

+ Để hàm số đồng biến trên khoảng \(( - \infty ; - 3)\) thì:

\(( - \infty ; - 3) \subset \left( { - \infty ;\frac{{{m^2} - 8}}{2}} \right) \Rightarrow \frac{{{m^2} - 8}}{2} \ge  - 3 \Leftrightarrow {m^2} - 2 \ge 0 \Leftrightarrow (m - \sqrt 2 )(m + \sqrt 2 ) \ge 0\)

Trường hợp 1: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m - \sqrt 2  \le 0}\\{m + \sqrt 2  \le 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \le \sqrt 2 }\\{m \le  - \sqrt 2 }\end{array} \Rightarrow m \le  - \sqrt 2 } \right.} \right.\)

Trường hợp 2: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m - \sqrt 2  \ge 0}\\{m + \sqrt 2  \ge 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \ge \sqrt 2 }\\{m \ge  - \sqrt 2 }\end{array} \Rightarrow m \ge \sqrt 2 } \right.} \right.\)

Vậy, \(m \in ( - \infty ; - \sqrt 2 ] \cup [\sqrt 2 ; + \infty )\) là các giá trị cần tìm.