Cho parabol \((P)\) có phương trình \(y = a{x^2} + bx + c(a \ne 0)\) . Khi đó:

a) Vì \((P)\) đi qua điểm \(A(0;1)\) nên suy ra \(c = 1\).

Vì \((P)\) đi qua điểm \(B(1; - 1)\) và \(C( - 1;1)\) nên ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}a + b + 1 =  - 1\\a - b + 1 = 1\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}a + b =  - 2\\a - b = 0\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}a =  - 1\\b =  - 1\end{array}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Vậy parabol \((P)\) có phương trình \(y =  - {x^2} - x + 1\).

b) Vì \((P)\) đi qua hai điểm \(D(3;0)\) và \(I(1;4)\) nên ta có: \(9a + 3b + c = 0{\rm{ (1) ;}}\,a + b + c = 4{\rm{ (2) }}\)

Trừ theo từng vế của (1) cho (2) ta có: \(8a + 2b =  - 4\) (3)

Vì \((P)\) có đỉnh \(I(1;4)\) và từ (3) ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}\frac{{ - b}}{{2a}} = 1\\8a + 2b =  - 4\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}2a + b = 0\\4a + b =  - 2\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}a =  - 1\\b = 2.\end{array}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Thay \(a =  - 1\) và \(b = 2\) vào \((2)\) suy ra \(c = 3\).

Vậy parabol \((P)\) có phương trình \(y =  - {x^2} + 2x + 3\).

c) Vì \((P)\) đi qua hai điểm \(M(2; - 7)\) và \(N( - 5;0)\) nên ta có: \(4a + 2b + c =  - 7(1){\rm{ ; }}25a - 5b + c = 0{\rm{ (2) }}\)

Trừ theo từng vế của (2) cho (1) ta có: \(21a - 7b = 7\) (3)

Vì \((P)\) có trục đối xứng là \(x =  - 2\) và từ \((3)\) ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}\frac{{ - b}}{{2a}} =  - 2\\21a - 7b = 7\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}4a - b = 0\\3a - b = 1\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}a =  - 1\\b =  - 4\end{array}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Thay \(a =  - 1\) và \(b =  - 4\) vào (1) suy ra \(c = 5\).

Vậy parabol \((P)\) có phương trình \(y =  - {x^2} - 4x + 5\).

d) Do \((P)\) có trục đối xứng là \(x =  - 2\) và có đỉnh thuộc đường thẳng \(d:y = 2x - 1\) nên đỉnh của \((P)\) là điểm \(I( - 2; - 5)\).

Vì \((P)\) đi qua hai điểm \(E(1;4)\) và \(I( - 2; - 5)\) nên ta có: \(a + b + c = 4{\rm{ (1) ; }}4a - 2b + c =  - 5{\rm{ (2) }}\)

Trừ theo từng vế của (2) cho (1) ta có: \(3a - 3b =  - 9\) (3)

Vì \((P)\) có trục đối xứng là \(x =  - 2\) và từ \((3)\) ta có hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}\frac{{ - b}}{{2a}} =  - 2\\3a - 3b =  - 9\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}4a - b = 0\\a - b =  - 3\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}a = 1\\b = 4.\end{array}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Thay \(a = 1\) và \(b = 4\) vào (1) suy ra \(c =  - 1\).

Vậy parabol \((P)\) có phương trình \(y = {x^2} + 4x - 1\).