Tìm \(m\) để hàm số \(y = {x^2} - 2x + 2m + 3\) có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [2;5] bằng -3.

+ Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Trong đó \(A( - 2,5;1,5),B(2,5;1,5),C(0;2)\).

+ Do Parabol đi qua các điểm \(A( - 2,5;1,5)\), \(B(2,5;1,5),C(0;2)\) nên ta có hệ phương

trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a{{( - 2,5)}^2} + b( - 2,5) + c = 1,5}\\{a{{(2,5)}^2} + b(2,5) + c = 1,5}\\{c = 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a =  - \frac{2}{{25}}}\\{b = 0}\\{c = 2}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(a =  - \frac{2}{{25}},b = 0,c = 2\).

Parabol đi qua điểm \(I(0;4)\) nên suy ra \(c = 4\).

Vì parabol đi qua điểm \(A( - 2;0)\) và có đỉnh \(I(0;4)\) nên ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}\frac{{ - b}}{{2a}} = 0\\4a - 2b + 4 = 0\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}a =  - 1\\b = 0\end{array}\end{array}} \right.} \right.\)

Vậy hàm số cần tìm là \(y =  - {x^2} + 4\).