Cho phương trình \(m{x^2} - (4m + 1)x + 4m + 2 = 0(1)\) với \(m\) là tham số. Khi đó:

Để phương trình có 2 nghiệm (1) phải là phương trình bậc 2. Do đó \(m \ne 0\).

Đặt \(f(x) = m{x^2} - (4m + 1)x + 4m + 2\).

\(\Delta  = {b^2} - 4ac = {(4m + 1)^2} - 4m(4m + 2) = 1 > 0\).

Do đó (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\).

a) Phương trình có 2 nghiệm trái dấu khi và chỉ khi

\(f\left( 0 \right).m < 0 \Leftrightarrow \left( {4m + 2} \right).m < 0\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}4m + 2 > 0\\m < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m >  - \frac{1}{2}\\m < 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}4m + 2 < 0\\m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m <  - \frac{1}{2}\\m > 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow  - \frac{1}{2} < m < 0\)

Vậy để phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu nhau thì \( - \frac{1}{4} < m < 0\).

b) Phương trình (1) có 2 nghiệm âm khi và chỉ khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f(0) \cdot m > 0}\\{\frac{{{x_1} + {x_2}}}{2} < 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{(4m + 2) \cdot m > 0}\\{S < 0}\end{array}} \right.} \right.\)

Với \[(4m + 2) \cdot m > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}4m + 2 > 0\\m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}m >  - \frac{1}{2}\\m > 0\end{array}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}4m + 2 < 0\\m < 0\end{array}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}m <  - \frac{1}{2}\\m < 0\end{array}\end{array}} \right.\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}m > 0\\m <  - \frac{1}{2}\end{array}\end{array}.} \right.} \right.\]

Với \(S < 0 \Leftrightarrow \frac{{4m + 1}}{m} < 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4m + 1 > 0}\\{m < 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m >  - \frac{1}{4}}\\{m < 0}\end{array}} \right.} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4m + 1 < 0}\\{m > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m <  - \frac{1}{4}}\\{m > 0}\end{array}} \right.} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow  - \frac{1}{4} < m < 0\)

Suy ra không tồn tại giá trị \(m\) để phương trình (1) có 2 nghiệm âm.

c) Phương trình có 2 nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa \({x_1} < 1 < {x_2}\) khi và chỉ khi

\(f(1) \cdot m < 0 \Leftrightarrow (m + 1) \cdot m < 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m + 1 > 0}\\{m < 0}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m + 1 < 0}\\{m > 0}\end{array}} \right.}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m >  - 1}\\{m < 0}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m <  - 1}\\{m > 0}\end{array}} \right.}\end{array} \Leftrightarrow  - 1 < m < 0.} \right.} \right.\)

d) Phương trình có 2 nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa \({x_1} < {x_2} < 3\) khi và chỉ khi

\[\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f(3) \cdot m > 0}\\{\frac{{{x_1} + {x_2}}}{2} < 3}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{(m + 1) \cdot m > 0}\\{S < 6}\end{array}} \right.} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m + 1 > 0}\\{m > 0}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m + 1 < 0}\\{m < 0}\end{array}} \right.\end{array} \right.\\\frac{{4m + 1}}{m} < 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m >  - 1}\\{m > 0}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m <  - 1}\\{m < 0}\end{array}} \right.\end{array} \right.\\\frac{{1 - 2m}}{m} < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m > 0}\\{m <  - 1}\end{array}} \right.\\\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 - 2m > 0}\\{m < 0}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 - 2m < 0}\\{m > 0}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 0\\m <  - 1\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}m < 0\\m > \frac{1}{2}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m <  - 1}\\{m > \frac{1}{2}.}\end{array}} \right.\end{array}\]