Độ cao (tính bằng mét) của một quả bóng (trong môn bóng đá) khi cầu thủ sút phạt so với xà ngang của khung thành khi bóng di chuyển được \(x\) mét theo phương ngang được mô phỏng bằng hàm số \(k(x) =  - 0,2{x^2} + 3x - 3\). Trong các khoảng nào của \(x\) thì bóng nằm cao hơn so với xà ngang của khung thành? Làm tròn kết quả đến hàng phân trăm.

Tam thức bậc hai \(f(x) = {x^2} + 2mx + m - 2\) có:

\({\Delta ^\prime } = {m^2} - m + 2 = {\left( {m - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{7}{4} \ge \frac{7}{4} > 0\) với mọi \(m \in \mathbb{R}\).

Do đó \(f(x)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\) với mọi \(m \in \mathbb{R}\).

Để \(f(x) < 0\) với mọi \(x \in (1;2)\) thì \({x_1} \le 1 < 2 \le {x_2}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f(1) \le 0}\\{f(2) \le 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 + 2m + m - 2 \le 0}\\{4 + 4m + m - 2 \le 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3m - 1 \le 0}\\{5m + 2 \le 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \le \frac{1}{3}}\\{m \le \frac{{ - 2}}{5}}\end{array} \Leftrightarrow m \le \frac{{ - 2}}{5}.} \right.} \right.} \right.} \right.\)

Vậy \(m \le \frac{{ - 2}}{5}\) thì \({x^2} + 2mx + m - 2 < 0\) với mọi \(x \in (1;2)\).

Ta thấy có hai đại lượng thay đổi là giá vé và số lượng khán giả.

Gọi \[x\]( $ ) là giá vé (\[x > 0\]).

Số tiền giá vé được giảm: \(14 - x\)

Số khán giả tăng lên: \(1000(14 - x)\)

Số khán giả: \(9500 + 1000(14 - x)\) (ĐK: \(9500 + 1000(14 - x) \le 15000 \Leftrightarrow x \ge 8,5\)).

Doanh thu bằng tổng số tiền thu được từ bán vé nên:

\[f\left( x \right) = x\left[ {9500 + 1000\left( {14 - x} \right)} \right] =  - 1000{x^2} + 23500x\].

Để đơn vị tổ chức không bị lỗ thì \(f\left( x \right) \ge 135000\).

\( \Leftrightarrow  - 1000{x^2} + 23500x \ge 135000 \Leftrightarrow 10 \le x \le 13,5\) (thoả đk).

Vậy giá vé từ 10$ đến 13,5$ thì đơn vị không bị lỗ.