Một chú thỏ ngày nào cũng ra bờ suối ở vị trí \(A\), cách cửa hang của mình tại vị trí \(B\) là \(370\;m\) để uống nước, sau đó chú thỏ sẽ đến vị trí \(C\) cách vị trí \(A120\;m\) để ăn cỏ rồi trở về hang. Tuy nhiên, hôm nay sau khi uống nước ở bờ suối, chú thỏ không đến vị trí \(C\) như mọi ngày mà chạy đến vị trí \(D\) để tìm cà rốt rồi mới trở về hang (xem hình bên dưới). Biết rằng, tổng thời gian chú thỏ chạy từ vị trí \(A\) đến vị trí \(D\) rồi về hang là 30 giây (không kể thời gian tìm cà rốt), trên đoạn \(AD\) chú thỏ chạy với vận tốc là \(13\;m/s\), trên đoạn \(BD\) chú thỏ chạy với vận tốc là \(15\;m/s\). Tính khoảng cách giữa hai vị trí \(C\) và \(D\).

Áp dụng định lí Pytago cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), ta được: \(A{C^2} + A{B^2} = B{C^2}\).

Suy ra \(AB = \sqrt {B{C^2} - A{C^2}}  = \sqrt {{6^2} - {x^2}}  = \sqrt {36 - {x^2}} (\;cm)\).

Áp dụng định lí Pytago cho tam giác \(ACD\) vuông tại \(A\), ta được: \(A{C^2} + A{D^2} = C{D^2}\).

Suy ra \(AD = \sqrt {C{D^2} - A{C^2}}  = \sqrt {{8^2} - {x^2}}  = \sqrt {64 - {x^2}} (\;cm)\).

Mà \(AB + BD = AD\) nên \(\sqrt {36 - {x^2}}  + 3 = \sqrt {64 - {x^2}} \) (1).

Bình phương hai vế của phương trình (1), ta được:

\(36 - {x^2} + 6\sqrt {36 - {x^2}}  + 9 = 64 - {x^2} \Rightarrow \sqrt {36 - {x^2}}  = \frac{{19}}{6} \Rightarrow {x^2} = \frac{{935}}{{36}} \Rightarrow x \approx 5,1.\)

Diện tích của tam giác \(BCD\) là: \(\frac{1}{2} \cdot 5,1 \cdot 3 = 7,65\left( {\;c{m^2}} \right)\).

Trường hợp 1: Với \(2x + 1 \ge 0\) hay \(x \ge  - \frac{1}{2}\), phương trình đã cho trở thành:

\(\sqrt {{x^2} - 4x - 1}  - (2x + 1) = 1 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 4x - 1}  = 2x + 2\)(1)

Bình phương hai vế của phương trình (1), ta được:

\({x^2} - 4x - 1 = 4{x^2} + 8x + 4 \Rightarrow 3{x^2} + 12x + 5 = 0\)

\( \Rightarrow x = \frac{{ - 6 + \sqrt {21} }}{3}\) hoặc \(x = \frac{{ - 6 - \sqrt {21} }}{3}.\)

Mà \(x \ge  - \frac{1}{2}\) nên ta nhận \(x = \frac{{ - 6 + \sqrt {21} }}{3}.\)

Thay \(x = \frac{{ - 6 + \sqrt {21} }}{3}\) vào phương trình đã cho, ta thấy giá trị này thoả mãn.

Trường hợp 2: Với \(2x + 1 < 0\) hay \(x <  - \frac{1}{2}\), phương trình đã cho trở thành \(\sqrt {{x^2} - 4x - 1}  + 2x + 1 = 1 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 4x - 1}  =  - 2x.\) (2)

Bình phương hai vế của phương trình (2), ta được:

\({x^2} - 4x - 1 = 4{x^2} \Rightarrow 3{x^2} + 4x + 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{{ - 1}}{3}\)hoặc \(x =  - 1.\)

Mà \(x <  - \frac{1}{2}\)nên ta nhận \(x =  - 1\).

Thay \(x =  - 1\) vào phương trình đã cho, ta thấy giá trị này thoả mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là \(S = \left\{ {\frac{{ - 6 + \sqrt {21} }}{3}; - 1} \right\}\).