Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(BC = 6\;cm\). Điểm \(D\) nằm trên tia \(AB\) sao cho \(DB = 3\;cm,DC = 8\;cm\) (xem hình vẽ). Đặt \(AC = x\). Tính diện tích tam giác \(BCD\) (làm tròn kết quả đến hàng phân mười).

Trường hợp 1: Với \(2x + 1 \ge 0\) hay \(x \ge  - \frac{1}{2}\), phương trình đã cho trở thành:

\(\sqrt {{x^2} - 4x - 1}  - (2x + 1) = 1 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 4x - 1}  = 2x + 2\)(1)

Bình phương hai vế của phương trình (1), ta được:

\({x^2} - 4x - 1 = 4{x^2} + 8x + 4 \Rightarrow 3{x^2} + 12x + 5 = 0\)

\( \Rightarrow x = \frac{{ - 6 + \sqrt {21} }}{3}\) hoặc \(x = \frac{{ - 6 - \sqrt {21} }}{3}.\)

Mà \(x \ge  - \frac{1}{2}\) nên ta nhận \(x = \frac{{ - 6 + \sqrt {21} }}{3}.\)

Thay \(x = \frac{{ - 6 + \sqrt {21} }}{3}\) vào phương trình đã cho, ta thấy giá trị này thoả mãn.

Trường hợp 2: Với \(2x + 1 < 0\) hay \(x <  - \frac{1}{2}\), phương trình đã cho trở thành \(\sqrt {{x^2} - 4x - 1}  + 2x + 1 = 1 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 4x - 1}  =  - 2x.\) (2)

Bình phương hai vế của phương trình (2), ta được:

\({x^2} - 4x - 1 = 4{x^2} \Rightarrow 3{x^2} + 4x + 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{{ - 1}}{3}\)hoặc \(x =  - 1.\)

Mà \(x <  - \frac{1}{2}\)nên ta nhận \(x =  - 1\).

Thay \(x =  - 1\) vào phương trình đã cho, ta thấy giá trị này thoả mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là \(S = \left\{ {\frac{{ - 6 + \sqrt {21} }}{3}; - 1} \right\}\).

Đặt \(AB = x > 0\). Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) có: \(AC = \sqrt {{x^2} + 4} \).

Theo tính chất định lí Ta-lét, ta có: \(\frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{CE}}{{BD}} \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {{x^2} + 16} }}{x} = \frac{5}{3}\)

\( \Leftrightarrow 3\sqrt {{x^2} + 16}  = 5x \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}5x \ge 0\\9({x^2} + 16) = 25{x^2}\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x \ge 0\\16{x^2} = 144\end{array}\end{array} \Leftrightarrow x = 3.} \right.} \right.\)

Vậy hai vị trí \(A,B\) cách nhau \(3\;m\).