Một con tàu \[T\] rời cảng \[C\] và chuyển động theo phương tạo với bờ biển một góc ${60}^0$. Trên bờ biển có hai đài quan sát \[A\] và \[B\] nằm về hai phía của cảng \[C\] và lần lượt cách cảng một khoảng cách là \[2\,km\] và \[3\,km\]( như hình vẽ). Đặt \[TC = x\left( {x > 0} \right)\]. Để khoảng cách từ tàu \[T\] đến hai đài quan sát bằng nhau thì \[x\] thỏa phương trình nào sau đây?

Gọi \(x(m)(x > 0)\) là đường kính của nửa đường tròn.

Khi đó hình chữ nhật có hai kích thước là \(x\) và \(\sqrt {5,{2^2} - {x^2}} \).

Diện tích nửa hình tròn là \(\frac{{\pi {x^2}}}{8}\) và diện tích hình chữ nhật là \(x\sqrt {5,{2^2} - {x^2}} \).

Theo giả thiết ta có: \(\frac{{\pi {x^2}}}{8} = \frac{3}{{10}}x\sqrt {5,{2^2} - {x^2}}  \Leftrightarrow \frac{5}{{12}}\pi x = \sqrt {5,{2^2} - {x^2}} \) \( \Leftrightarrow \frac{{25}}{{144}}{\pi ^2}{x^2} = \frac{{676}}{{25}} - {x^2} \Leftrightarrow {x^2}\left( {\frac{{25}}{{144}}{\pi ^2} + 1} \right) = \frac{{676}}{{25}} \Leftrightarrow x \approx 3,2(\;m)\).

Diện tích cánh cửa là: \(\frac{{\pi  \cdot 3,{2^2}}}{8} + 3,2\sqrt {5,{2^2} - 3,{2^2}}  \approx 17,1\left( {\;{m^2}} \right)\).

Do đó số tiên ông An phải trả là: \(1300000 \cdot 17,1 = 22230000\) (đồng).

\(\sqrt {{x^2} + 2x - m}  = 2x - 1 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - 1 \ge 0}\\{{x^2} + 2x - m = {{(2x - 1)}^2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge \frac{1}{2}}\\{3{x^2} - 6x + 1 =  - m(*)}\end{array}} \right.} \right.\)

Phương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi phương trình \((*)\) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn hoặc bằng \(\frac{1}{2}\).

Xét hàm số \(f(x) = 3{x^2} - 6x + 1\) trên \(\left[ {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\) ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta thấy yêu cầu bài toán thỏa mãn khi \( - 2 <  - m \le  - \frac{5}{4}\) \( \Leftrightarrow \frac{5}{4} \le m < 2\).