Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 4x + 5}}{{x - 2}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Gọi \(A\) là điểm cực trị có tung độ âm của đồ thị \(\left( C \right)\). Khoảng cách từ điểm \(A\) đến đường tiệm cân xiên của đồ thị hàm số \(\left( C \right)\) bằng \(\frac{{\sqrt a }}{b}\) với \(a,b \in {\mathbb{Z}^ + }\) và \(a\) là số nguyên tố. Tính \(2026a + b\).

Đáp án: 9.

Gọi \(H = (1,1,0)\) và \(K = (10,13,0)\) là hình chiếu của \(A\) và \(B\) lên mặt phẳng \(Oxy\).

Có \(S = AM + BN = \sqrt {A{H^2} + H{M^2}} + \sqrt {B{K^2} + N{K^2}} = \sqrt {9 + H{M^2}} + \sqrt {36 + N{K^2}} \). Khi đó để \({S_{\min }}\) thì \(H,M,N,K\) theo thứ tự thẳng hàng.

Ta có: \(\overrightarrow {HK} = (9,12,0)\); \(|\overrightarrow {HK} | = \sqrt {{9^2} + {{12}^2}} = 15\).

Do \(MN = 5\), nên \(\overrightarrow {MN} = \frac{5}{{15}}\overrightarrow {HK} = (3,4,0)\).

Gọi \(A'\left( {1;1; - 3} \right)\) là điểm đối xứng của \(A\left( {1;1;3} \right)\) qua \(\left( {Oxy} \right)\).

Gọi \(C\) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {A'C} = \overrightarrow {MN} \). Suy ra \(C\left( {4;5; - 3} \right)\) và \(A'CNM\) là hình bình hành.

Có: \(\left\{ \begin{array}{l}AM = A'M\\A'M = CN\end{array} \right.\) suy ra \(AM = CN\).

Khi đó: \(S = AM + BN = CN + BN \ge BC\). Dấu “=” xảy ra khi \(B,N,C\)thẳng hàng.

Có\(\overrightarrow {BC} = \left( {6;8;9} \right)\), phương trình đường thẳng \(BC:\left\{ \begin{array}{l}x = 10 + 6t\\y = 13 + 8t\\z = 6 + 9t\end{array} \right.\).

Vì \(N = BC \cap \left( {Oxy} \right)\) nên \(6 + 9t = 0 \Leftrightarrow t = \frac{{ - 2}}{3} \Rightarrow N\left( {6;\frac{{23}}{3};0} \right)\).

Lại có \(\overrightarrow {MN} = \left( {3;4;0} \right)\) nên \[\left\{ \begin{array}{l}6 - {x_M} = 3\\\frac{{23}}{3} - {y_M} = 4\\{z_M} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} = 3\\{y_M} = \frac{{11}}{3}\\{z_M} = 0\end{array} \right.\] suy ra \[M\left( {3;\frac{{11}}{3};0} \right)\].

Vậy \[{x_M} + {x_N} = 9\].

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: \(R = 6 - 1 = 5\). Vậy a) đúng.

b) Ta có bảng số liệu sau:

* Tính \({Q_1}\).

Có \(\frac{n}{4} = \frac{{40}}{4} = 10\), chọn nhóm 2 có tần số tích luỹ bằng 10.

Thì \({Q_1} = 2 + \left( {\frac{{10 - 4}}{6}} \right).1 = 3\)

* Tính \({Q_3}\).

Có \(\frac{{3n}}{4} = \frac{{3.40}}{4} = 30\), chọn nhóm 4 có tần số tích luỹ bằng 32.

Thì \({Q_3} = 4 + \left( {\frac{{30 - 22}}{{10}}} \right).1 = 4,8\)

* Khoảng tứ phận vị là \(\Delta Q = {Q_3} - {Q_1} = 4,8 - 3 = 1,8\). Vậy b) đúng.

c) Giá trị trung bình của mẫu số liệu trên là:

\(\bar x = \frac{1}{{40}}.\left( {1,5.4 + 2,5.6 + 3,5.12 + 4,5.10 + 5,5.8} \right) = 3,8\)

Phương sai của mẫu số liệu trên là:

\({s^2} = \frac{1}{{40}}.\left[ {4{{\left( {1,5 - 3,8} \right)}^2} + 6{{\left( {2,5 - 3,8} \right)}^2} + 12{{\left( {3,5 - 3,8} \right)}^2} + 10{{\left( {4,5 - 3,8} \right)}^2} + 8{{\left( {5,5 - 3,8} \right)}^2}} \right] = 1,51\)

Vậy c) Sai.

d) Chọn ngẫu nhiên 4 học sinh từ 40 học sinh, thì số cách chọn là: \(n\left( \Omega \right) = C_{40}^4 = 91390\).

Gọi \(A\) là biến cố “ba nhóm đã phân chia đều có học sinh được chọn”

Phân chia 3 nhóm theo yêu cầu:

Nhóm 1 (học sinh chưa chăm) gồm nhóm \(\left[ {1\,;\,2} \right)\) và \(\left[ {2\,;\,3} \right)\), nên tổng 10 em.

Nhóm 2 (học sinh đạt yêu cầu) gồm nhóm \(\left[ {3\,;\,4} \right)\) và \(\left[ {4\,;\,5} \right)\), nên tổng 22 em.

Nhóm 3 (học sinh chăm chỉ) gồm nhóm \(\left[ {5\,;\,6} \right)\) và \(\left[ {6\,;\,7} \right)\), nên tổng 8 em.

Để cả ba nhóm đều có học sinh, ta có các trường hợp chia như sau:

+ TH1: Chọn 1 học sinh nhóm 1, 1 học sinh nhóm 2, và 2 học sinh nhóm 3.

Số cách chọn là: \(C_{10}^1.C_{22}^1.C_8^2 = 6160\) (cách chọn)

+ TH2: Chọn 1 học sinh nhóm 1, 2 học sinh nhóm 2, và 1 học sinh nhóm 3.

Số cách chọn là: \(C_{10}^1.C_{22}^2.C_8^1 = 18480\) (cách chọn)

+ TH3: Chọn 2 học sinh nhóm 1, 1 học sinh nhóm 2, và 1 học sinh nhóm 3.

Số cách chọn là: \(C_{10}^2.C_{22}^1.C_8^1 = 7920\) (cách chọn)

Vậy tổng số cách thuận lợi cho biến cố \(A\) là \(n\left( A \right) = 6160 + 18480 + 7920 = 32560\)

Xác suất của biến cố \(A\) là: \(P\left( A \right) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{32560}}{{91390}} = \frac{{88}}{{247}}\).

Vậy d) đúng.