Cho hình chóp \[S.ABCD\]có đáy là hình thoi cạnh \[1\], \[\widehat {BAD} = 60^\circ \]. Gọi \[O\] là giao điểm của \[AC\] và \[BD\]. Hình chiếu vuông góc của \[S\] lên mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right)\] trùng với điểm \[O\]. Góc giữa đường thẳng \[SC\] và mặt phẳng đáy bằng \[60^\circ \]. Khoảng cách từ điểm \[A\] đến mặt phẳng \[\left( {SCD} \right)\] bằng \[\frac{{a\sqrt {13} }}{b}\] với \[a,b\] là các số nguyên dương và \[\frac{a}{b}\] là phân số tối giản. Tính \[a + b\].

Đáp án: 16.

Số cách chọn ngẫu nhiên 4 số từ 12 số và xếp vào các vòng tròn là \(n(\Omega ) = C_{12}^4.4 = 1980\) (vì chọn 4 số có \(C_{12}^4\) cách, sau đó chọn 1 trong 4 số đó đặt vào vòng tròn lớn có 4 cách, 3 số còn lại vào 3 vòng tròn nhỏ không phân biệt vị trí nên chỉ có 1 cách xếp).

Gọi số ở vòng tròn lớn là \(a\), và ba số ở vòng tròn nhỏ là \(x,y,z\) với \(x < y < z\).

Theo điều kiện bài toán ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}y + z < a\\x + y + z > a\end{array} \right. \Leftrightarrow y + z < a < x + y + z\).

Ta cần tìm các bộ số \((a;x,y,z)\) sao cho: \(y + z < a < x + y + z\).

Trường hợp 1: Nếu \[x = 1\] thì \(y + z < a < y + z + 1\) thì không tồn tại số \(a\) nguyên.

Trường hợp 2: Nếu \[x = 2\] thì

\[\left\{ \begin{array}{l}y + z < a < y + z + 2 \Rightarrow a = y + z + 1 \le 12 \Rightarrow y + z \le 11\\\min \left( {y + z} \right) = 7\end{array} \right. \Rightarrow 7 \le y + z \le 11\].

Suy ra có có 9 bộ thỏa mãn.

Trường hợp 3: Nếu \[x = 3\] thì \[\left\{ \begin{array}{l}y + z < a < y + z + 3 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a = y + z + 1 \le 12 \Rightarrow y + z \le 11\\a = y + z + 2 \le 12 \Rightarrow y + z \le 10\end{array} \right.\\\min \left( {y + z} \right) = 9\end{array} \right.\]

Trường hợp 3.1: \[a = y + z + 1\]. khi đó \[9 \le y + z \le 11 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}y + z = 11\\y + z = 10\\y + z = 9\end{array} \right.\]

Suy ra có 4 bộ thỏa mãn.

Trường hợp 3.2: \[a = y + z + 2\]. khi đó \[9 \le y + z \le 10 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}y + z = 10\\y + z = 9\end{array} \right.\]

Suy ra có 2 bộ thỏa mãn

Trường hợp 4: Nếu \[x = 4\] thì \[\left\{ \begin{array}{l}y + z < a < y + z + 4 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a = y + z + 1 \le 12 \Rightarrow y + z \le 11\\a = y + z + 2 \le 12 \Rightarrow y + z \le 10\\a = y + z + 3 \le 12 \Rightarrow y + z \le 9\end{array} \right.\\\min \left( {y + z} \right) = 11\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}11 \le y + z \le 11\\11 \le y + z \le 10\\11 \le y + z \le 9\end{array} \right. \Rightarrow y + z = 11\]

Suy ra có 1 bộ thỏa mãn.

Tổng số trường hợp thuận lợi là \(n(A) = 16\).

Xác suất \(P = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{16}}{{1980}}\).

Giá trị cần tìm là \(1980P = 1980.\frac{{16}}{{1980}} = 16\).

Chọn a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng.

a) Sau 2 giờ, tốc độ thay đổi nhiệt độ của lon sữa là \(T'\left( 2 \right) = 7 \cdot {e^{ - 0,35 \cdot 2}} = 7 \cdot {e^{ - 0,7}} \approx 3,48^\circ {\rm{C}}\)/giờ.

Vậy a) đúng.

b) Nhiệt độ lon sữa tính từ thời điểm lấy ra khỏi tủ lạnh cho đến khi lon sữa đạt nhiệt độ môi trường được tính bởi công thức:

\(T\left( t \right) = \int {T'\left( t \right)dt = \int {\left( {7 \cdot {e^{ - 0,35t}}} \right){\rm{d}}t = \frac{7}{{ - 0,35}}} } \,{e^{ - 0,35t}} + C = - 20{e^{ - 0,35t}} + C\);

\(T\left( 0 \right) = - 4 \Rightarrow - 20 \cdot {e^{ - 0,35 \cdot 0}} + C = - 4 \Rightarrow C = 16.\)

Vậy \(T\left( t \right) = \)\( - 20{e^{ - 0,35t}} + 16\).

Vậy b) sai.

c) Thời gian để lon sữa đạt nhiệt độ môi trường, tức là

\(T\left( t \right) = 10 \Rightarrow - 20{e^{ - 0,35t}} + 16 = 10 \Rightarrow {e^{ - 0,35t}} = \frac{3}{{10}} \Rightarrow t = \frac{1}{{ - 0,35}}\ln \left( {\frac{3}{{10}}} \right) \approx 3,44\).

Vậy c) đúng.

d) Ta có \(L\left( t \right) = \int {L'\left( t \right){\rm{d}}t = \int {\left( {k \cdot {e^{ - 0,22t}}} \right){\rm{d}}t = \frac{k}{{ - 0,22}}\,} } {e^{ - 0,22t}} + C\),

\[L\left( 0 \right) = 10 \Rightarrow \frac{k}{{ - 0,22}}{e^{ - 0,22 \cdot 0}} + C = 10 \Rightarrow C = 10 + \frac{k}{{0,22}}\].

Vậy \[L\left( t \right) = \frac{k}{{ - 0,22}}{e^{ - 0,22t}} + 10 + \frac{k}{{0,22}}\].

Khi đó \[L\left( {\frac{5}{{60}}} \right) = 70 \Rightarrow \frac{k}{{ - 0,22}}{e^{ - 0,22.\frac{5}{{60}}}} + 10 + \frac{k}{{0,22}} = 70 \Rightarrow k \approx 726,6 \Rightarrow k \in \left( {720;730} \right)\].

Vậy d) đúng.