Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), đường cao \(AH\). Trên cạnh \(BC\), lấy điểm \(E\) sao cho\(BA = BE\) và kẻ \(EF \bot AC\) tại \(F.\)

Khi đó:

a) Đúng.

Ta có \(AH < AB\) và \(AH < AC\) (đường vuông góc ngắn hơn đường xiên)

Cộng theo vế suy ra \(2AH < AB + AC\) (1)

Lại có \(AH < AB\) và \(CH < AC\) (đường vuông góc ngắn hơn đường xiên)

Suy ra \(CH + BH < AB + AC\).

Khi đó \(BC < AB + AC\) (2)

b) Đúng.

Lấy (1) + (2) vế theo vế, ta được \(2AH + BC < 2AB + 2AC\).

Suy ra \(AH + \frac{{BC}}{2} < AB + AC\) (*)

c) Sai.

Do \(BA = BE\) nên tam giác \(ABE\) cân tại \(B.\)

Suy ra \(\widehat {BAE} = \widehat {BEA}\).

Lại có \(\widehat {BAE} = \widehat {AEF}\) (do cùng phụ với \(\widehat {EAF}\))

Suy ra \(\widehat {AEF} = \widehat {BEA}\).

Xét \(\Delta AHE\) và \(\Delta AFE\), có:

\(AE\) là cạnh chung.

\(\widehat {AEF} = \widehat {BEA}\) (chứng minh trên)

\(\widehat {AHE} = \widehat {AFE} = 90^\circ \).

Do đó \(\Delta AHE = \Delta AFE\) (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra \(AH = AF\) (cặp cạnh tương ứng)

Ta có \(CF < EC\) (đường vuông góc ngắn hơn đường xiên).

Ta có \(BC + AH = BE + EC + AH = BA + EC + AC\).

Suy ra \(BC + AH > BA + CF + AF\) hay \(BC + AH > AC + AB\).

d) Sai.

Từ (*), (**), ta suy ra \(AH + \frac{{BC}}{2} < AB + AC < BC + AH\).