Cho tam giác \(\Delta ABC\) và \(M\) là một điểm nằm trong tam giác. Gọi \(I\) là giao điểm của đường thẳng \(BM\) và cạnh \(AC\). Khi đó:

Đáp án: 17

Giả sử rằng \(\Delta ABC\) có \(AB = 3{\rm{ cm, }}AC = 7{\rm{ cm}}\).

Theo bất đẳng thức tam giác, ta có:

\(\left| {AB - AC} \right| < BC < AB + AC\) hay \(4 < BC < 10\).

Mà theo đề, \(\Delta ABC\) cân nên suy ra \(BC = 7{\rm{ cm}}\).

Vậy chu vi tam giác \(ABC\) là: \(3 + 7 + 7 = 17{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)\).

a) Đúng.

Xét \(\Delta ABK\), có: \(AB < AK + BK\).

Xét \(\Delta MBK\), có: \(BK < KM + BM\).

Xét \(\Delta ABM,\) có: \(AB < AM + BM\).

Do đó, ta có: \(AB < AK + BK < AK + KM + BM = AM + BM\).

Vậy \(KA + KB < MA + MB\).

b) Đúng.

Xét \(\Delta ABC,\) có: \(AB < AC + BC\).

Xét \(\Delta AMC,\) có: \(AM < MC + AC\).

Do đó, ta có: \(AB < AM + BM < MC + AC + BM = AC + BC\).

Vậy \(MA + MB < CA + CB.\)

c) Đúng.

Theo bất đẳng thức về cạnh trong tam giác, ta chứng minh được:

\(BC < KB + KC < KB + KN + NC < BN + NC < AB + AN + NC < AB + AC\).

Do đó \(KB + KC < AB + AC\).

d) Sai.

Tương tự, ta chứng minh được \(KA + KC < BA + BC\). (1)

Từ đó, ta có: \(KB + KC < AB + AC\); (2)

\(KA + KB < MA + MB\); (3)

Cộng theo vế (1), (2), (3) ta có: \[2\left( {KA + KB + KC} \right) < 2\left( {AC + BA + BC} \right)\].

Do đó \[KA + KB + KC < AC + BA + BC\] hay \(KA + KB + KC < {P_{ABC}}\).