Cho tam giác \(ABC\) có \(AH\) là đường cao, biết \(H\) nằm giữa \(B\) và \(C\), \(\widehat {CAH} < \widehat {BAH}\). Kết luận nào sau đây đúng?

Đáp án: 2

Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta AED\), có:

\(\widehat B = \widehat E = 90^\circ \)(gt)

\(AD\): chung (gt)

\(\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}\) (vì \(AD\) là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\))

Do đó, \(\Delta ABD = \Delta AED\) (g.c.g)

Suy ra \(BD = ED\) (hai cạnh tương ứng)

Mà \(BD = 2{\rm{ cm}}\) nên \(ED = 2{\rm{ cm}}{\rm{.}}\)

Vậy khoảng cách từ \(D\) đến đường thẳng \(AC\) là \(2{\rm{ cm}}{\rm{.}}\)

a) Đúng.

Ta có: \(AH\) là đường vuông góc; \(AB,AC\) là các đường xiên.

Suy ra \(AH < AB;\,\,AH < AC\).

b) Đúng.

Từ a) ta có \(AH < AB;\,\,AH < AC\).

Do đó, \(AH + AH < AB + AC\) hay \(2AH < AB + AC.\)

c) Sai.

Ta có: \(BK \bot AC\) tại \(K\) suy ra \(BK\) là đường vuông góc; \(AB,BC\) là các đường xiên.

\(CL \bot AB\) tại \(L\) suy ra \(CL\) là đường vuông góc; \(AC,BC\) là các đường xiên.

Suy ra \(BK < AB;BK < BC\) do đó, \(2BK < AB + BC\) nên \(BK < \frac{1}{2}\left( {AB + BC} \right)\).

\(CL < AC;CL < BA\) do đó, \(2CL < AB + AC\) nên \(CL < \frac{1}{2}\left( {AB + AC} \right)\).

d) Đúng.

Có \(2AH < AB + AC\) nên \(AH < \frac{1}{2}\left( {AB + AC} \right)\).

Do đó, \(AH + BK + CL < \frac{1}{2}\left( {AB + AC + AC + BC + BC + AB} \right)\)

Hay \(AH + BK + CL < \frac{1}{2}\left( {2AB + 2AC + 2BC} \right)\)

Do đó, \(AH + BK + CL < AB + BC + CA.\)