Cho \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A\). Trên cạnh \(AB\) lấy điểm \(D\) bất kì \(\left( {D \ne A,\,\,B} \right)\). Trên tia đối của tia \(AC\) lấy điểm \(E\) sao cho \(AD = AE\). Gọi \(F\) là giao điểm của \(CD\) và \(BE.\)

Khi đó:

Đáp án: 2

Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta AED\), có:

\(\widehat B = \widehat E = 90^\circ \)(gt)

\(AD\): chung (gt)

\(\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}\) (vì \(AD\) là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\))

Do đó, \(\Delta ABD = \Delta AED\) (g.c.g)

Suy ra \(BD = ED\) (hai cạnh tương ứng)

Mà \(BD = 2{\rm{ cm}}\) nên \(ED = 2{\rm{ cm}}{\rm{.}}\)

Vậy khoảng cách từ \(D\) đến đường thẳng \(AC\) là \(2{\rm{ cm}}{\rm{.}}\)

Đáp án: 4

Xét \(\Delta ABE\) có \(\widehat A + \widehat B + \widehat {AEB} = 180^\circ \) (Định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra \(\widehat B = 180^\circ - \widehat A - \widehat {AEB}\) (1)

Xét \(\Delta CED\) có \(\widehat C + \widehat D + \widehat {CED} = 180^\circ \) (Định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra \(\widehat C = 180^\circ - \widehat D - \widehat {CED}\) (2)

Mà \(\widehat {AEB} = \widehat {CED}\) (Hai góc đối đỉnh) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\widehat B = \widehat C\).

Xét \(\Delta ABE\) và \(\Delta DCE\) có:

\(\widehat {BAC} = \widehat {BDC} = 90^\circ \)

\(AB = CD\)

\(\widehat B = \widehat C\)

Do đó, \(\Delta ABE = \Delta DCE\) (g.c.g)

Suy ra \(AE = DE\) (hai cạnh tương ứng)

Mà \(ED = 4{\rm{ cm}}\) nên \(EA = 4{\rm{ cm}}\).

Khoảng cách từ điểm \(E\) đến đường thẳng \(AB\) là \(EA\) (Vì \(AE \bot AB\) tại \(A\))

Vậy khoảng cách từ điểm \(E\) đến đường thẳng \(AB\) là \(4{\rm{ cm}}{\rm{.}}\)