Cửa hàng tiện lợi có bán combo bánh ngọt và đồ uống. Các loại bánh ngọt và đồ uống được mô tả bằng sơ đồ hình cây sau:

Hãy cho biết có bao nhiêu cách để khách hàng có thể lựa chọn được combo gồm một bánh ngọt và một loại đồ uống?

a) Xếp một học sinh vào vị trí thứ nhất: có 7 cách.

Xếp một học sinh vào vị trí thứ hai: có 6 cách.

Các vị trí tiếp theo lần lượt có số cách tương ứng là \(5,4,3,2,1\) (cách).

Vậy số cách xếp hàng tùy ý 7 học sinh trên là: \(7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040\).

b) Xếp các em nữ trong một hàng 3 người, ta có: \(3 \times 2 \times 1 = 6\) (cách).

Xếp các em nam trong một hàng 4 người, ta có: \(4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\) (cách).

Số cách hoán đổi vị trí của hai nhóm trên là 2.

Vậy số cách xếp học sinh thỏa mãn là: \(6 \times 24 \times 2 = 288\) (cách).

c) Hàng được xếp phải thỏa mãn: Nam-Nữ-Nam-Nữ-Nam-Nữ-Nam.

Chọn một nam sinh cho vị trí thứ nhất: có 4 cách.

Chọn một nữ sinh cho vị trí thứ hai: có 3 cách.

Số cách chọn học sinh cho các vị trí tiếp theo lần lượt là: \(3,2,2,1\).

Vậy số cách xếp thỏa mãn là: \(4 \times 3 \times 3 \times 2 \times 2 \times 1 = 144\) (cách).

d) Gọi X là nhóm gồm 3 học sinh nữ.

Số cách xếp 3 học sinh trong \(X\) là: \(3 \times 2 \times 1 = 6\) (cách).

Lúc này ta có 5 phần tử để đưa vào hàng gồm có \(X\) cùng với 4 nam sinh ( \(X\) được tính là 1 phần tử).

Chọn 1 phần tử cho vị trí thứ nhất: có 5 (cách).

Số cách chọn phần tử cho các vị trí tiếp theo lần lượt là \(4,3,2,1\).

Vậy số cách xếp hàng thỏa mãn là: \(6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720\) (cách).

Vòng quay \(I\) có 3 lựa chọn \((1;2;4)\) để được chữ số hàng chục và vòng quay II có 3 lựa chọn \((1;5;7)\) để được chữ số hàng đơn vị. Áp dụng quy tắc nhân, ta có số các số có hai chữ số được tạo thành là: \(3 \cdot 3 = 9\) (số).