Cho tập hợp \(A = \left\{ {0;\,1;\,2;\,3;\,4;\,5;\,6;\,7} \right\}.\)Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số được lập từ \(A\) sao cho các chữ số khác nhau từng đôi một và là số lẻ.

a) Xếp một học sinh vào vị trí thứ nhất: có 7 cách.

Xếp một học sinh vào vị trí thứ hai: có 6 cách.

Các vị trí tiếp theo lần lượt có số cách tương ứng là \(5,4,3,2,1\) (cách).

Vậy số cách xếp hàng tùy ý 7 học sinh trên là: \(7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040\).

b) Xếp các em nữ trong một hàng 3 người, ta có: \(3 \times 2 \times 1 = 6\) (cách).

Xếp các em nam trong một hàng 4 người, ta có: \(4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\) (cách).

Số cách hoán đổi vị trí của hai nhóm trên là 2.

Vậy số cách xếp học sinh thỏa mãn là: \(6 \times 24 \times 2 = 288\) (cách).

c) Hàng được xếp phải thỏa mãn: Nam-Nữ-Nam-Nữ-Nam-Nữ-Nam.

Chọn một nam sinh cho vị trí thứ nhất: có 4 cách.

Chọn một nữ sinh cho vị trí thứ hai: có 3 cách.

Số cách chọn học sinh cho các vị trí tiếp theo lần lượt là: \(3,2,2,1\).

Vậy số cách xếp thỏa mãn là: \(4 \times 3 \times 3 \times 2 \times 2 \times 1 = 144\) (cách).

d) Gọi X là nhóm gồm 3 học sinh nữ.

Số cách xếp 3 học sinh trong \(X\) là: \(3 \times 2 \times 1 = 6\) (cách).

Lúc này ta có 5 phần tử để đưa vào hàng gồm có \(X\) cùng với 4 nam sinh ( \(X\) được tính là 1 phần tử).

Chọn 1 phần tử cho vị trí thứ nhất: có 5 (cách).

Số cách chọn phần tử cho các vị trí tiếp theo lần lượt là \(4,3,2,1\).

Vậy số cách xếp hàng thỏa mãn là: \(6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720\) (cách).

Vòng quay \(I\) có 3 lựa chọn \((1;2;4)\) để được chữ số hàng chục và vòng quay II có 3 lựa chọn \((1;5;7)\) để được chữ số hàng đơn vị. Áp dụng quy tắc nhân, ta có số các số có hai chữ số được tạo thành là: \(3 \cdot 3 = 9\) (số).