Một nhóm học sinh có 7 em nam và 3 em nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 10 em này trên một hàng ngang, sao cho hai vị trí đầu và cuối hàng là các em nam và không có 2 em nữ nào ngồi cạnh nhau?

Gọi \(L\) là nhóm 3 sách lý, \(S\) là nhóm 4 sách sinh, Đ là nhóm 5 sách địa. Số cách xếp trong \(L\) là 3!; số cách xếp trong \(S\) là 4!; số cách xếp trong Đ là 5!; số cách xếp L, S, Đ với nhau: 3!.

Vậy số cách xếp thỏa mãn đề bài là: \(3!4!5!3! = 103680\) (cách).

Điều kiện: \(x \in \mathbb{N}\) và \(x \ge 3\). Ta có: \(A_x^3 + C_x^{x - 3} = 14x\) \( \Leftrightarrow \frac{{x!}}{{(x - 3)!}} + \frac{{x!}}{{(x - 3)!3!}} = 14x \Leftrightarrow x(x - 1)(x - 2) + \frac{{x(x - 1)(x - 2)}}{6} = 14x\)

\( \Leftrightarrow 7(x - 1)(x - 2) = 84\)

(vì \(x > 0) \Leftrightarrow {x^2} - 3x - 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 5{\rm{ (n) }}}\\{x =  - 2\left( l \right)}\end{array}} \right.\)

Vậy phương trình có nghiệm là \(x = 5\).