Một nhóm học sinh có 7 em nam và 3 em nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 10 em này trên một hàng ngang, sao cho hai vị trí đầu và cuối hàng là các em nam và không có 2 em nữ nào ngồi cạnh nhau?

Gọi \(L\) là nhóm 3 sách lý, \(S\) là nhóm 4 sách sinh, Đ là nhóm 5 sách địa. Số cách xếp trong \(L\) là 3!; số cách xếp trong \(S\) là 4!; số cách xếp trong Đ là 5!; số cách xếp L, S, Đ với nhau: 3!.

Vậy số cách xếp thỏa mãn đề bài là: \(3!4!5!3! = 103680\) (cách).

Trước hết ta sắp xếp năm chữ số 1 và năm chữ số 2 vào 10 vị trí hàng ngang:

- Chọn năm trong mười vị trí đề sắp xếp chữ số 1: có \(C_{10}^5\) cách chọn.

- Các vị trí còn lại ta sắp xếp chữ số 2: có 1 cách chọn.

Từ dãy các chữ số 1 và 2 ở trên có chín vị trí xen giữa và hai vị trí hai đầu mút. Các số còn lại gồm \(3,4,5,6,7,8,9\) đều lớn hơn 2. Ta cần chọn ra năm trong bảy chữ số trên để sắp xếp vào mười một vị trí cho phép:

- Số cách chọn ra năm trong bảy chữ số: \(C_7^5\).

- Số cách chọn ra năm trong mười một vị trí để sắp xếp năm chữ số vừa chọn là \(A_{11}^5\).

Vậy số các số tự nhiên thỏa mãn là \(C_{10}^5 \cdot 1 \cdot C_7^5 \cdot A_{11}^5 = 293388480\).