Có 3 cuốn sách Lý, 4 cuốn sách Sinh, 5 cuốn sách Địa. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các cuốn sách trên vào giá sách hàng ngang nếu các cuốn sách cùng môn học đứng cạnh nhau?

Bước 1: Xếp 7 bạn nam thành một hàng ngang, có \[7!\] cách xếp.

Bước 2: Xem các bạn nam là những vách ngăn, giữa 7 bạn nam có sáu vị trí để xếp 3 bạn nữ. Chọn 3 vị trí trong sáu vị trí để xếp 3 bạn nữ, có \({A^3}_6\) cách.

Theo quy tắc nhân ta có \(7!.{A^3}_6 = 604800\)cách.

Trước hết ta sắp xếp năm chữ số 1 và năm chữ số 2 vào 10 vị trí hàng ngang:

- Chọn năm trong mười vị trí đề sắp xếp chữ số 1: có \(C_{10}^5\) cách chọn.

- Các vị trí còn lại ta sắp xếp chữ số 2: có 1 cách chọn.

Từ dãy các chữ số 1 và 2 ở trên có chín vị trí xen giữa và hai vị trí hai đầu mút. Các số còn lại gồm \(3,4,5,6,7,8,9\) đều lớn hơn 2. Ta cần chọn ra năm trong bảy chữ số trên để sắp xếp vào mười một vị trí cho phép:

- Số cách chọn ra năm trong bảy chữ số: \(C_7^5\).

- Số cách chọn ra năm trong mười một vị trí để sắp xếp năm chữ số vừa chọn là \(A_{11}^5\).

Vậy số các số tự nhiên thỏa mãn là \(C_{10}^5 \cdot 1 \cdot C_7^5 \cdot A_{11}^5 = 293388480\).