Có 3 cuốn sách Lý, 4 cuốn sách Sinh, 5 cuốn sách Địa. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các cuốn sách trên vào giá sách hàng ngang nếu các cuốn sách cùng môn học đứng cạnh nhau?

Bước 1: Xếp 7 bạn nam thành một hàng ngang, có \[7!\] cách xếp.

Bước 2: Xem các bạn nam là những vách ngăn, giữa 7 bạn nam có sáu vị trí để xếp 3 bạn nữ. Chọn 3 vị trí trong sáu vị trí để xếp 3 bạn nữ, có \({A^3}_6\) cách.

Theo quy tắc nhân ta có \(7!.{A^3}_6 = 604800\)cách.

Điều kiện: \(x \in \mathbb{N}\) và \(x \ge 3\). Ta có: \(A_x^3 + C_x^{x - 3} = 14x\) \( \Leftrightarrow \frac{{x!}}{{(x - 3)!}} + \frac{{x!}}{{(x - 3)!3!}} = 14x \Leftrightarrow x(x - 1)(x - 2) + \frac{{x(x - 1)(x - 2)}}{6} = 14x\)

\( \Leftrightarrow 7(x - 1)(x - 2) = 84\)

(vì \(x > 0) \Leftrightarrow {x^2} - 3x - 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 5{\rm{ (n) }}}\\{x =  - 2\left( l \right)}\end{array}} \right.\)

Vậy phương trình có nghiệm là \(x = 5\).