Cho dãy số \(\left( {{a_n}} \right)\) có \({a_n} = - {n^2} + 4n + 11,\forall n \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}\). Tìm số hạng lớn nhất của dãy số \(\left( {{a_n}} \right).\)    

Xét \(\Delta SBA\) có 3 điểm \({\rm{M}},{\rm{N}},{\rm{H}}\) thẳng hàng. Theo định lý Menelaus ta có:

\(\frac{{MS}}{{MA}} \cdot \frac{{HA}}{{HB}} \cdot \frac{{NB}}{{NS}} = 1 \Rightarrow \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{{HA}}{{HB}} = 1 \Rightarrow \frac{{HA}}{{HB}} = 4 \Rightarrow HA = 4HB\).

Ta có: \(\overrightarrow {MH}  = \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BH}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {AB}  + \frac{1}{5}\overrightarrow {AB}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {SA}  + \frac{6}{5}\overrightarrow {AB} \). Chọn B.

TH1: \(m = 0:f\left( x \right) = 4 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\) (đúng) \( \Rightarrow m = 0\) thỏa mãn.

TH2: \(m \ne 0\).

Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a > 0}\\{{\rm{\Delta '}} < 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m > 0}\\{{m^2} - 4m < 0}\end{array} \Leftrightarrow m \in \left( {0;4} \right)} \right.} \right.\).

Vậy \(m \in \left[ {0;4} \right)\). Chọn D.