Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{x}\left( {1 + \frac{x}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x}}} \right),\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\) là    

Ta có \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y - 2z + 5 = 0\)

nên (S) có tâm \(I\left( { - 1;2;1} \right)\) và bán kính \(R = 1\).

Mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + 2z - 3 = 0\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}}  = \left( {1; - 2;2} \right)\).

\(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| { - 1 - 2 \cdot 2 + 2 \cdot 1 - 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = 2 > R\) nên \(\left( P \right)\) và \(\left( S \right)\) không giao nhau.

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(N\) trên mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\alpha \) là góc giữa \(MN\) và \(NH\).

\(\overrightarrow {MN} \) và \(\vec u\) cùng phương, \(\overrightarrow {NH} \) và \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} \) cùng phương nên

\({\rm{cos}}\alpha  = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}}  \cdot \vec u} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} } \right| \cdot \left| {\vec u} \right|}} = \frac{{\left| {1 \cdot 1 - 2 \cdot 0 + 2 \cdot 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}}  \cdot \sqrt {{1^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Vì \(M,N\) là các điểm lần lượt thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right)\) (\(\left( P \right)\) và \(\left( S \right)\) không giao nhau) và \(MN = \frac{{d\left( {N,\left( P \right)} \right)}}{{{\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} } \right)}}\) nên \(MN\) lớn nhất khi và chỉ khi \(d\left( {N,\left( P \right)} \right)\) lớn nhất \( \Leftrightarrow \) tâm I của (S) nằm giữa \(N\) và hình chiếu vuông góc của \(N\) trên \(\left( P \right)\).

Xét tam giác \(MNH\) vuông tại \(H\) có \(\alpha  = \widehat {HNM}\) nên

\(HN = MN{\rm{cos}}\alpha  \Rightarrow MN = \frac{{HN}}{{{\rm{cos}}\alpha }} = \frac{{HN}}{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}} = \sqrt 2 HN\).

Ta có \(HN \le d\left( {I,\left( P \right)} \right) + R = 2 + 1 = 3\) nên \(MN \le 3\sqrt 2 \).

Dấu đẳng thức xảy ra khi \(I\)nằm giữa \(H\) và \(N\).

Do đó, giá trị lớn nhất của độ dài \(MN\) là \(3\sqrt 2 \), đạt được khi \(I\) nằm giữa \(H\) và \(N\).

Vậy giá trị lớn nhất của độ dài \(MN\) là \(3\sqrt 2 \). Chọn A.

Dễ thấy hai điểm \(A,B\) nằm khác phía so với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).

Gọi \({A_1}\) là điểm đối xứng của \(A\) qua mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) suy ra \({A_1}\left( {1; - 3; - 2} \right)\).

Gọi mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa \({A_1}\) và song song mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) suy ra \(\left( P \right):z =  - 2\).

Ta gọi \({A_2}:\)\(\overrightarrow {{A_1}{A_2}}  = \overrightarrow {MN} \) và gọi \(K\) là hình chiếu của \(B\) lên \(\left( P \right)\)

\( \Rightarrow K\left( { - 2;1; - 2} \right) \Rightarrow BK = 2,K{A_1} = 5\).

Khi đó: \(\left| {AM - BN} \right| = \left| {{A_2}N - BN} \right| \le {A_2}B \le \sqrt {B{K^2} + {{\left( {K{A_1} + 4} \right)}^2}}  = \sqrt {85} \).

Suy ra giá trị lớn nhất của \(\left| {AM - BN} \right|\) bằng \(\sqrt {85} \), dấu bằng xảy ra khi \(N = {A_2}B \cap \left( {Oxy} \right)\). Chọn D.