Số giá trị nguyên của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} + \left( {m - 1} \right)x - 10}}{{x + 2m}}\) có khoảng cách giữa hai điểm cực trị không lớn hơn \(10\sqrt {10} \) là (nhập đáp án vào ô trống).

__

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2m} \right\}\).

Ta có \(y = \frac{{{x^2} + \left( {m - 1} \right)x - 10}}{{x + 2m}}\); \(y' = \frac{{{x^2} + 4mx + 2{m^2} - 2m + 10}}{{x + 2m}}\)

Để hàm số \(y = \frac{{{x^2} + \left( {m - 1} \right)x - 10}}{{x + 2m}}\) có hai điểm cực trị thì phương trình \(y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow {x^2} + 4mx + 2{m^2} - 2m + 10 = 0\) (1) có hai nghiệm phân biệt khác \( - 2m\).

\[\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\{\left( { - 2m} \right)^2} + 4m \cdot \left( { - 2m} \right) + 2{m^2} - 2m + 10 \ne 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{m^2} - 2{m^2} + 2m - 10 > 0\\ \Leftrightarrow  - 2{m^2} - 2m + 10 \ne 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow 2{m^2} + 2m - 10 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < \frac{{ - 1 - \sqrt {21} }}{2}\\m > \frac{{ - 1 + \sqrt {21} }}{2}\end{array} \right.\].

Đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} + \left( {m - 1} \right)x - 10}}{{x + 2m}}\) là \(y = 2x + m - 1\).

Gọi \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B}} \right)\) là các điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho.

Suy ra \({y_A} = 2{x_A} + m - 1;{y_B} = 2{x_B} + m - 1\) nên \({y_A} - {y_B} = 2{x_A} - 2{x_B}\).

Ta có

\(AB = \sqrt {{{\left( {{x_A} - {x_B}} \right)}^2} + {{\left( {{y_A} - {y_B}} \right)}^2}}  = \sqrt {{{\left( {{x_A} - {x_B}} \right)}^2} + {{\left( {2{x_A} - 2{x_B}} \right)}^2}} \)

\[ = \sqrt {5{{\left( {{x_A} - {x_B}} \right)}^2}}  = \sqrt {5\left[ {{{\left( {{x_A} + {x_B}} \right)}^2} - 4{x_A}{x_B}} \right]} \]

Với \[\left[ \begin{array}{l}m < \frac{{ - 1 - \sqrt {21} }}{2}\\m > \frac{{ - 1 + \sqrt {21} }}{2}\end{array} \right.\],\({x_A},{x_B}\) là các nghiệm phân biệt của phương trình (1)

 Nên theo hệ thức Vi - et ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_A} + {x_B} =  - 4m}\\{{x_A}{x_B} = 2{m^2} - 2m + 10}\end{array}} \right.\).

Do đó \(AB = \sqrt {5\left[ {{{\left( { - 4m} \right)}^2} - 4\left( {2{m^2} - 2m + 10} \right)} \right]}  = \sqrt {5\left( {8{m^2} + 8m - 40} \right)} \)

Vì khoảng cách giữa hai điểm cực trị không lớn hơn \(10\sqrt {10} \) nên \(AB \le 10\sqrt {10} \)

\( \Leftrightarrow \sqrt {5\left( {8{m^2} + 8m - 40} \right)}  \le 10\sqrt {10}  \Leftrightarrow 8{m^2} + 8m - 40 \le 200 \Leftrightarrow  - 6 \le m \le 5\).

Kết hợp với \[\left[ \begin{array}{l}m < \frac{{ - 1 - \sqrt {21} }}{2}\\m > \frac{{ - 1 + \sqrt {21} }}{2}\end{array} \right.\] và \(m\) là số nguyên, ta được \(m \in \left\{ { - 6; - 5; - 4; - 3;2;3;4;5} \right\}\) nên có 8 giá trị nguyên của tham số \(m\) thỏa yêu cầu bài toán.

Đáp án cần nhập là: \(8\).