Trong không gian hệ tọa độ \(Oxyz\) cho ba điểm \(A\left( { - 2;1;3} \right),B\left( {0; - 2;1} \right),C\left( { - 1;4,3} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y - 2z + 6 = 0\). Gọi \(M\) là điểm thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\) sao cho biểu thức: \(T = \left| {\overrightarrow {MC}  - 5\overrightarrow {MA} \left|  +  \right|\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {2MC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất. Biết rằng \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\). Tính \(A = {x_0} + {y_0} + {z_0}\)(nhập đáp án vào ô trống)?

_____

Gọi \(I\) thỏa mãn \(\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {2IC}  = \vec 0 \Rightarrow I\left( { - 1;\frac{7}{4};\frac{{10}}{4}} \right)\).

Và điểm \(J\) thỏa mãn: \(\overrightarrow {JC}  - 5\overrightarrow {JA}  = \vec 0 \Rightarrow J\left( {\frac{{ - 9}}{4};\frac{1}{4};3} \right)\).

Ta có

\(T = \left| {\overrightarrow {MC}  - 5\overrightarrow {MA} \left|  +  \right|\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} \left|  =  \right|\overrightarrow {MJ}  + \overrightarrow {JC}  - 5\overrightarrow {MJ}  - 5\overrightarrow {JA} \left|  +  \right|\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {2MI}  + \overrightarrow {2IC} } \right|\)

\( = \left| { - 4\overrightarrow {MJ} \left|  +  \right|4\overrightarrow {MI} } \right| = 4\left( {MJ + MI} \right)\).

Xét vị trí tương đối của hai điểm \(I,J\) so với mặt phẳng \(\left( P \right)\) có:

\({P_{\left( I \right)}} =  - 1 + 2 \cdot \frac{7}{4} - 2 \cdot \frac{{10}}{4} + 6 = \frac{7}{2}\)

\({P_{\left( J \right)}} =  - \frac{9}{4} + 2 \cdot \frac{1}{4} - 2 \cdot 3 + 6 = \frac{{ - 7}}{4}\)

\( \Rightarrow {P_{\left( I \right)}} \cdot {P_{\left( J \right)}} = \frac{7}{2} \cdot \left( { - \frac{7}{4}} \right) =  - \frac{{49}}{8} < 0 \Rightarrow I,J\) nằm khác phía so với mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Lại có: Theo bất đẳng thức tam giác ta có: \(MI + MJ \ge IJ\).

\( \Rightarrow T \ge IJ \Rightarrow {T_{{\rm{min}}}} = IJ \Leftrightarrow M,I,J\) thẳng hàng hay \(M = IJ \cap \left( P \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {IJ}  = \left( {\frac{{ - 5}}{4};\frac{{ - 3}}{2};\frac{1}{2}} \right)\).

Phương trình đường thẳng đi qua \(I,J\) là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{{ - 9}}{4} - \frac{5}{4}t}\\{y = \frac{1}{4} - \frac{3}{2}t}\\{z = 3 + \frac{1}{2}t}\end{array}} \right.\)\( \Rightarrow M\left( {\frac{{ - 9}}{4} - \frac{5}{4}t;\frac{1}{4} - \frac{3}{2}t;3 + \frac{1}{2}t} \right)\).

\(M \in \left( P \right) \Rightarrow \frac{{ - 9}}{4} - \frac{5}{4}t + 2\left( {\frac{1}{4} - \frac{3}{2}t} \right) - 2\left( {3 + \frac{1}{2}t} \right) + 6 = 0 \Rightarrow t = \frac{{ - 1}}{3}\)

\( \Rightarrow M\left( {\frac{{ - 11}}{6};\frac{3}{4};\frac{{17}}{6}} \right) \Rightarrow A = \frac{{ - 11}}{6} + \frac{3}{4} + \frac{{17}}{6} = \frac{7}{4} = 1,75\).

Đáp án cần nhập là: \(1,75\).