Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\), có đồ thị hàm số \(f'\left( x \right)\) như hình vẽ. Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc đoạn \(\left[ { - 5;5} \right]\) để hàm số \(y = f\left( {{x^2} - 2mx + {m^2} + 1} \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;\frac{1}{2}} \right)\). Tính tổng giá trị các phần tử của \(S\) (nhập đáp án vào ô trống).

___

                            

\(y = f\left( {{x^2} - 2mx + {m^2} + 1} \right)\).  Có \(y' = \left( {2x - 2m} \right)f'\left( {{x^2} - 2mx + {m^2} + 1} \right)\).

Để hàm số \(y = f\left( {{x^2} - 2mx + {m^2} + 1} \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;\frac{1}{2}} \right)\) thì

\(y' \le 0,\forall x \in \left( {0;\frac{1}{2}} \right) \Leftrightarrow \left( {2x - 2m} \right)f'\left( {{x^2} - 2mx + {m^2} + 1} \right) \le 0,\forall x \in \left( {0;\frac{1}{2}} \right)\) (*).

Xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: \(2x - 2m \ge 0 \Leftrightarrow x \ge m\).

Khi đó từ (*)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \le 0}\\{{x^2} - 2mx + {m^2} + 1 \le 2,\forall x \in \left( {0;\frac{1}{2}} \right)}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \le 0}\\{{x^2} - 2mx + {m^2} - 1 \le 0,\forall x \in \left( {0;\frac{1}{2}} \right)\,\,\,(1)}\end{array}} \right.\) .

Giải (1):

Đặt \(g\left( x \right) = {x^2} - 2mx + {m^2} - 1\).

Ta có \({{\rm{\Delta '}}_{g\left( x \right)}} = {\rm{\Delta '}} = {m^2} - \left( {{m^2} - 1} \right) = 1 > 0\) nên \(g\left( x \right)\) có hai nghiệm phân biệt là \(m - 1\) và \(m + 1\).

Để \(g\left( x \right) \le 0,\forall x \in \left( {0;\frac{1}{2}} \right)\) thì: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m - 1 \le 0}\\{m + 1 \ge \frac{1}{2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \le 1}\\{m \ge  - \frac{1}{2}}\end{array}} \right.} \right.\).

Kết hợp với \(m \le 0\), ta được \( - \frac{1}{2} \le m \le 0\).

Trường hợp 2: \(2x - 2m \le 0 \Leftrightarrow x \le m\).

Khi đó từ (*)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \ge \frac{1}{2}}\\{{x^2} - 2mx + {m^2} + 1 \ge 2,\forall x \in \left( {0;\frac{1}{2}} \right)}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \ge \frac{1}{2}}\\{{x^2} - 2mx + {m^2} - 1 \ge 0,\forall x \in \left( {0;\frac{1}{2}} \right)\,\,\,(2)}\end{array}} \right.\)

Giải (2):

Đặt \(g\left( x \right) = {x^2} - 2mx + {m^2} - 1\).

Ta có \({{\rm{\Delta '}}_{g\left( x \right)}} = {\rm{\Delta '}} = {m^2} - \left( {{m^2} - 1} \right) = 1 > 0\) nên \(g\left( x \right)\) có hai nghiệm phân biệt là \(m - 1\) và \(m + 1\).

Để \(g\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \left( {0;\frac{1}{2}} \right)\) thì: \[\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m - 1 \ge \frac{1}{2}}\\{m + 1 \le 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \ge \frac{3}{2}}\\{m \le  - 1}\end{array}} \right.\].

Kết hợp với \(m \ge \frac{1}{2}\), ta được \(m \ge \frac{3}{2}\).

Tóm lại, \( - \frac{1}{2} \le m \le 0\) hoặc \(m \ge \frac{3}{2}\).

Mà \(m\) là số nguyên thuộc đoạn \(\left[ { - 5;5} \right]\) nên \(m \in S = \left\{ {0;2;3;4;5} \right\}\).

Vậy tổng giá trị các phần tử của \(S\) là \(0 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14\).

Đáp án cần nhập là: \(14\).