Khai triển \({(3x + 2)^5}\). Khi đó:

a) Gọi số tự nhiên cần tìm: \(\overline {abcde} \) với \(a,b,c,d,e\) là các số lấy từ tập \(\{ 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9\} \).

Vì các số được chọn là tùy ý nên số cách chọn mỗi chữ số \(a,b,c,d,e\) đều là 10 (cách).

Vậy số các số tự nhiên thỏa mãn: \({9.10^4} = 90000\) (số).

b) Gọi số tự nhiên cần tìm: \(\overline {abcde} \).

Chọn \(a:a \ne 0 \Rightarrow \) Có 9 cách chọn \(a\).

Chọn \(b:b \ne a \Rightarrow \) Có 9 cách chọn \(b\).

Theo quy luật trên thì số cách chọn \(c,d,e\) lần lượt là \(8,7,6\). Vậy số các số tự nhiên thỏa mãn: 9.9.8.7.6 \( = 27216\) (số).

c) Gọi số tự nhiên cần tìm: \(\overline {abcde} \).

Chọn \(e \in \{ 1;3;5;7;9\}  \Rightarrow \) Có 5 cách chọn \(e\).

Chọn \(a\) với \(a \ne 0,a \ne e \Rightarrow \) Có 8 cách chọn \(a\).

Mỗi chữ số \(b,c,d\) lần lượt có \(8,7,6\) cách chọn.

Vậy số các số tự nhiên thỏa mãn: \(5.8.8.7.6 = 13440\) (số)

d) Cách giải 1:

Trường hợp 1: \(e = 0\).

Chọn \(a\) khác 0 (tức là \(a\) cũng khác \(e\) ): có 9 cách chọn.

Mỗi chữ số \(b,c,d\) lần lượt có \(8,7,6\) cách chọn. Khi đó, ta có được: 1.9.8.7.6 \( = 3024\) (số).

Trường hợp 2: \(e \in \{ 2;4;6;8\} \). Chọn \(e\): có 4 cách chọn.

Chọn \(a\) với \(a \ne 0,a \ne e\), ta có 8 cách chọn.

Mỗi chữ số \(b,c,d\) lần lượt có \(8,7,6\) cách chọn. Khi đó ta có được: \(4.8.8.7.6 = 10752\) (số).

Vậy số các số tự nhiên thỏa mãn: \(3024 + 10752 = 13776\) (số).

Cách giải 2:

Số các số tự nhiên gồm 5 chữ số phân biệt là 27216 (số).

Số các số tự nhiên lẻ gồm 5 chữ số phân biệt là 13440 (số).

Theo quy tắc loại trừ, ta có số các số tự nhiên chã̃n gồm 5 chữ số phân biệt: \(27216 - 13440 = 13776\) (số).

Gọi số có \(5\) chữ số cần tìm là \(x = \overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}} ;{\rm{ }}{a_1},{a_2},{a_3},{a_4},{a_5} \in A;{\rm{ }}{a_1} \ne 0;{\rm{ }}{a_5} \in \left\{ {0;2;4;6} \right\}\).

Công việc thành lập số \(x\) được chia thành các bước:

- Chọn chữ số \({a_1}\) có \(6\) lựa chọn vì khác \(0\).

- Chọn các chữ số \({a_2},\,{\rm{ }}{a_3},\,{\rm{ }}{a_4}\), mỗi chữ số có \(7\) lựa chọn.

- Chọn chữ số \({a_5}\) có \(4\) lựa chọn vì số tạo thành chia hết cho \(2\).

Số số thỏa mãn yêu cầu bài toán là: \({6.7^3}.4 = 8232\).