Một nhóm học sinh gồm 5 nam và 5 nữ xếp thành một hàng ngang. Tính số cách sắp xếp để cho học sinh nam và học sinh nữ xen kẽ nhau.

a) Gọi số tự nhiên cần tìm: \(\overline {abcde} \) với \(a,b,c,d,e\) là các số lấy từ tập \(\{ 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9\} \).

Vì các số được chọn là tùy ý nên số cách chọn mỗi chữ số \(a,b,c,d,e\) đều là 10 (cách).

Vậy số các số tự nhiên thỏa mãn: \({9.10^4} = 90000\) (số).

b) Gọi số tự nhiên cần tìm: \(\overline {abcde} \).

Chọn \(a:a \ne 0 \Rightarrow \) Có 9 cách chọn \(a\).

Chọn \(b:b \ne a \Rightarrow \) Có 9 cách chọn \(b\).

Theo quy luật trên thì số cách chọn \(c,d,e\) lần lượt là \(8,7,6\). Vậy số các số tự nhiên thỏa mãn: 9.9.8.7.6 \( = 27216\) (số).

c) Gọi số tự nhiên cần tìm: \(\overline {abcde} \).

Chọn \(e \in \{ 1;3;5;7;9\}  \Rightarrow \) Có 5 cách chọn \(e\).

Chọn \(a\) với \(a \ne 0,a \ne e \Rightarrow \) Có 8 cách chọn \(a\).

Mỗi chữ số \(b,c,d\) lần lượt có \(8,7,6\) cách chọn.

Vậy số các số tự nhiên thỏa mãn: \(5.8.8.7.6 = 13440\) (số)

d) Cách giải 1:

Trường hợp 1: \(e = 0\).

Chọn \(a\) khác 0 (tức là \(a\) cũng khác \(e\) ): có 9 cách chọn.

Mỗi chữ số \(b,c,d\) lần lượt có \(8,7,6\) cách chọn. Khi đó, ta có được: 1.9.8.7.6 \( = 3024\) (số).

Trường hợp 2: \(e \in \{ 2;4;6;8\} \). Chọn \(e\): có 4 cách chọn.

Chọn \(a\) với \(a \ne 0,a \ne e\), ta có 8 cách chọn.

Mỗi chữ số \(b,c,d\) lần lượt có \(8,7,6\) cách chọn. Khi đó ta có được: \(4.8.8.7.6 = 10752\) (số).

Vậy số các số tự nhiên thỏa mãn: \(3024 + 10752 = 13776\) (số).

Cách giải 2:

Số các số tự nhiên gồm 5 chữ số phân biệt là 27216 (số).

Số các số tự nhiên lẻ gồm 5 chữ số phân biệt là 13440 (số).

Theo quy tắc loại trừ, ta có số các số tự nhiên chã̃n gồm 5 chữ số phân biệt: \(27216 - 13440 = 13776\) (số).

Kí hiệu số cần lập là abcd. Vì d là số chẵn nên ta chia hai trường hợp:

Trường hợp 1: d\( = 0\).

Chọn a khác 0 có 9 cách. Ứng với mỗi cách chọn đó, chọn b khác d và a có 8 cách. Ứng với mỗi cách đó, chọn c khác a, b và d có \(7\)cách. Áp dụng quy tắc nhân, trường hợp này có: \(9.8.7 = 504\) số thoả mãn yêu cầu.

Trường hợp 2: \({\rm{d}} \in \{ 2,4,6,8\} \).

Chọn \({\rm{d}}\) có 4 cách. Ứng với mỗi cách chọn đó, chọn a khác 0 và \({\rm{d}}\) có 8 cách. Ứng với mỗi cách chọn đó, chọn \({\rm{b}}\) khác \({\rm{d}}\) và \({\rm{a}}\) có 8 cách. Ứng với mỗi cách đó, chọn \({\rm{c}}\) khác \({\rm{a,b}}\) và \({\rm{d}}\) có 7 cách. Áp dụng quy tắc nhân, trường hợp này có: \(4.8.8.7 = 1792\) số thoả mãn yêu cầu.

Trong hai trường hợp trên, mỗi số lập được theo trường hợp này đều khác với các số lập được của trường hợp kia. Theo quy tắc cộng, có: \(504 + 1792 = 2296\) số tự nhiên chẵn có bốn chữ số đôi một khác nhau lập được từ các chữ số đã cho.