Trong không gian \(Oxyz\) cho các điểm \(A\left( {2;0;0} \right),B\left( {0;4;0} \right),C\left( {0;0;6} \right),D\left( {2;4;6} \right)\). Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng song song với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right),\left( P \right)\) cách đều \(D\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\). Phương trình của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(ax + by + 2z + d = 0\) với \(a,b,d \in \mathbb{Z}\). Giá trị của \(d\) bằng bao nhiêu?    

Phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là: \(\frac{x}{2} + \frac{y}{4} + \frac{z}{6} = 1 \Leftrightarrow 6x + 3y + 2z - 12 = 0\).

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) song song với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) nên \(\left( P \right)\) có dạng: \(6x + 3y + 2z + d = 0{\rm{\;}}\left( {d \ne  - 12} \right)\).

Vì \(\left( P \right)\) cách đều \(D\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) nên ta có: \(d\left( {D,\left( P \right)} \right) = d\left( {\left( {ABC} \right),\left( P \right)} \right)\)

\( \Leftrightarrow d\left( {D,\left( P \right)} \right) = d\left( {A,\left( P \right)} \right)\)\[ \Leftrightarrow \left| {36 + d} \right| = \left| {12 + d} \right|\]\( \Leftrightarrow d =  - 24\).

Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là: \(6x + 3y + 2z - 24 = 0\). Chọn D.