Hai quả bóng hình cầu có kích thước khác nhau được đặt ở hai góc của một căn nhà hình hộp chữ nhật sao cho mỗi quả bóng đều tiếp xúc với hai bức tường và nền của nhà đó. Biết rằng trên bề mặt của mỗi quả bóng đều tồn tại một điểm có khoảng cách đến hai bức tường và nền nhà mà nó tiếp xúc lần lượt bằng . Tổng độ dài bán kính của hai quả bóng đó bằng bao nhiêu đề-xi-mét (nhập đáp án vào ô trống)?

__

Chọn hệ trục \(Oxyz\) (đơn vị trên mỗi trục là \(dm\)) như hình vẽ.

Mỗi quả bóng xem là mặt cầu tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\).

Vì mỗi quả bóng đều tiếp xúc với hai bức tường và nền của nhà nên chúng tiếp xúc với ba mặt phẳng tọa độ. Khi đó:

\(d\left( {I,\left( {xOy} \right)} \right) = d\left( {I,\left( {yOz} \right)} \right) = d\left( {I,\left( {zOx} \right)} \right) = R \Leftrightarrow a = b = c > 0 \Rightarrow I\left( {a;a;a} \right)\).

Gọi \(M\left( {x;y;z} \right)\) là điểm nằm trên quả bóng có khoảng cách đến hai bức tường và nền nhà mà nó tiếp xúc bằng \(1;2;4 \Rightarrow M\left( {1;2;4} \right)\).

\(M\) nằm trên bề mặt quả bóng khi \(IM = d\left( {I,\left( {xOy} \right)} \right) = a\)

\( \Leftrightarrow {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {a - 4} \right)^2} = {a^2} \Leftrightarrow 2{a^2} - 14a + 21 = 0\) (*).

Vì (*) có \({\rm{\Delta '}} = 7 > 0\) nên nó có hai nghiệm phân biệt \({a_1},{a_2}\) và \({a_1} + {a_2} = 7\).

Khi đó tổng bán kính của hai quả bóng là \(7\left( {dm} \right)\).

Đáp án cần nhập là: \(7\).