Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\), \(BC = a\sqrt 3 ,AC = 2a\). Biết \(AA' = 2a\), khoảng cách từ \(C'\) đến mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\) là:    

Ta có \(AB = \sqrt {A{C^2} - B{C^2}}  = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} - {{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}}  = a\).

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(A\) trên \(A'B\).

Khi đó \(AH \bot \left( {A'BC} \right) \Rightarrow d\left( {A,\left( {A'BC} \right)} \right) = AH\).

Ta có \(AH = \frac{{AA' \cdot AB}}{{\sqrt {A{{A'}^2} + A{B^2}} }} = \frac{{2a \cdot a}}{{\sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} + {a^2}} }} = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\).

Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC'\) và \(A'C\).

Suy ra \(O\) là trung điểm của \(AC'\), đồng thời \(O\) giao điểm của \(AC'\) và \(\left( {A'BC} \right)\).

Do đó \[\frac{{d\left( {C',\left( {A'BC} \right)} \right)}}{{d\left( {A,\left( {A'BC} \right)} \right)}} = \frac{{C'O}}{{AO}} = 1 \Rightarrow d\left( {C',\left( {A'BC} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {A'BC} \right)} \right) = AH = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\]. Chọn D.