Một đơn vị thi công dự định xây dựng hệ thống cáp quang từ trạm \(A\) ở trên đường bờ biển \(d\) đến một vị trí \(B\) trên đảo, khoảng cách từ \(B\) đến bờ biển là \(BH = 6{\rm{\;km}}\). Giá thi công mỗi km hệ thống cáp quang trên bờ biển là 50 triệu đồng và dưới nước là 130 triệu đồng. Người ta cần xác định một vị trí \(C\) trên đường bờ biển \(d\) để lắp đặt hệ thống cáp quang theo đường gấp khúc \(ACB\) sao cho số tiền chi phí thấp nhất. Chi phí lắp đặt thấp nhất là bao nhiêu tiền, biết \(AB = 3\sqrt {13} {\rm{\;km}}\) (nhập đáp án vào ô trống, đơn vị tính: triệu đồng)?

_____

Theo định lý Pitago, ta có: \(AH = \sqrt {A{B^2} - B{H^2}}  = \sqrt {{{\left( {3\sqrt {13} } \right)}^2} - {6^2}}  = 9\).

Gọi \(x\left( {km} \right)\) là chiều dài cáp quang \(AC\) cần lắp đặt trên bờ biển \((0 < x \le 9)\).

Khi đó \(HC = AH - AC = 9 - x\) và \(BC = \sqrt {B{H^2} + H{C^2}}  = \sqrt {{6^2} + {{\left( {9 - x} \right)}^2}}  = \sqrt {{x^2} - 18x + 117} \).

Chi phí lắp đặt cáp quang toàn tuyến theo đường gấp khúc \(ACB\) là:

\(C\left( x \right) = 50x + 130\sqrt {{x^2} - 18x + 117} \) (triệu đồng).

Xét hàm số \(C\left( x \right) = 50x + 130\sqrt {{x^2} - 18x + 117} \) trên \(\left( {0;9} \right]\).

\(C'\left( x \right) = 50 + 130 \cdot \frac{{x - 9}}{{\sqrt {{x^2} - 18x + 117} }}\)

\(C'(x) = 0 \Leftrightarrow 50 + 130 \cdot \frac{{x - 9}}{{\sqrt {{x^2} - 18x + 117} }} = 0 \Leftrightarrow x = 6,5.\)

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta có giá trị nhỏ nhất của hàm số

\(C\left( x \right) = 50x + 130\sqrt {{x^2} - 18x + 117} \) trên \(\left( {0;9} \right]\) là 1170.

Vậy chi phí lắp đặt thấp nhất là 1170 triệu đồng.

Đáp án cần nhập là: \(1170\).