Trong không gian \(Oxyz\) cho \(\Delta ABC\) có điểm \(A\left( {3;1; - 2} \right),B\left( { - 3; - 1;2} \right),C\left( { - 1;0; - 1} \right)\). Gọi \(D\left( {a;b;c} \right)\) là chân đường phân giác trong của \(\Delta ABC\) tại \(B\). Tính \(2a + 2b + c\) (nhập đáp án vào ô trống).

_

Theo tính chất đường phân giác trong ta có: \(\frac{{DA}}{{DC}} = \frac{{BA}}{{BC}}\).

Ta có \(:\overrightarrow {AB}  = \left( { - 6; - 2;4} \right) \Rightarrow AB = 2\sqrt {14} \).

\(\overrightarrow {BC}  = \left( {2;1; - 3} \right) \Rightarrow BC = \sqrt {14} \).

\( \Rightarrow \frac{{BA}}{{BC}} = \frac{{2\sqrt {14} }}{{\sqrt {14} }} = 2\)\( \Rightarrow \overrightarrow {DA}  =  - 2\overrightarrow {DC} \).

Gọi \(D\left( {a;b;c} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {DA}  = \left( {3 - a;1 - b; - 2 - c} \right)\); \(\overrightarrow {DC}  = \left( { - 1 - a; - b; - 1 - c} \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {DA}  =  - 2\overrightarrow {DC}  \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3 - a = 2 + 2a}\\{1 - b = 2b}\\{ - 2 - c = 2 + 2c}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = \frac{1}{3}}\\{b = \frac{1}{3}}\\{c = \frac{{ - 4}}{3}}\end{array}} \right.} \right.\).

Vậy điểm \(D\left( {\frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{{ - 4}}{3}} \right)\). Suy ra \(a = \frac{1}{3};b = \frac{1}{3};c =  - \frac{4}{3}\).

Khi đó \(2a + 2b + c = 0\)

Đáp án cần nhập là: \(0\).