Cho hàm số \(f\left( x \right) = 2x - m \cdot {\rm{ln}}x\) và \(g\left( x \right) = x + \frac{4}{x}\). Số giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y = f\left( {g\left( x \right)} \right)\) có đúng 3 điểm cực trị trên \(\left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\) là:

Có \(f'\left( x \right) = 2 - \frac{m}{x};g'\left( x \right) = 1 - \frac{4}{{{x^2}}}\).

Có \(y' = {\left[ {f\left( {g\left( x \right)} \right)} \right]^\prime } = g'\left( x \right) \cdot f'\left( {g\left( x \right)} \right) = \left( {1 - \frac{4}{{{x^2}}}} \right) \cdot f'\left( {g\left( x \right)} \right)\).

Cho \(y' = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{g'\left( x \right) = 0}\\{f'\left( {g\left( x \right)} \right) = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 - \frac{4}{{{x^2}}} = 0}\\{x + \frac{4}{x} = \frac{m}{2}}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{x =  - 2\left( l \right)}\\{x + \frac{4}{x} = \frac{m}{2}\left( 2 \right)}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Khi đó, phương trình \(y' = 0\) có một nghiệm \(x = 2\) trong khoảng \(\left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\).

Để hàm số đã cho có đúng 3 điểm cực trị trên \(\left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\) thì phương trình (2) có đúng 2 nghiệm phân biệt khác 2 trên \(\left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\).

Ta có bảng biến thiên của \(g\left( x \right)\) như sau:

Từ bảng biến thiên, ta suy ra để phương trình (2) có đúng 2 nghiệm phân biệt khác 2 trên \(\left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\) thì \(4 < \frac{m}{2} < \frac{{17}}{2} \Leftrightarrow 8 < m < 17\).

Vậy có 8 giá trị nguyên của \(m\) thoả mãn yêu cầu bài toán. Chọn B.